Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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che, se ^^ ~ aò = 0, e si suppone ad es. a =t^ 0, la (1) può
scriversi
(ax + /?) («x' + ^) =: 0,
e fa vedere che ogni coppia della involuzione parabolica si
compone dell'elemento fisso x = ^ e di un elemento x'
variabile da coppia a coppia. Neil' elemento iisso cade 1' unico
elemento unito. Di questa involuzione degenere non ci occuperemo
nel seguito, e parlando di involuzione, intenderemo d' or-
dinario che si tratti di involuzione iperbolica od ellittica.
86. Proprietà fondamentale degli elementi doppi di una
involuzione. — Siano Z7, V gli elementi doppi di una involu-
zione, iperbolica od ellittica, ed A A' una coppia di elementi
coniugati distinti.
Sarà per ipotesi
(UVAA') = (UVA' A)',
si conclude (n.° 47) che i quattro elementi U,V,A,A' formano
un gruppo armonico. Dunque:
/ due dementi doppi di una involuzione dividono armonicamente
ogni coppia della involuzione; od anche (n.°73, a)): la
caratteristica di una proiettività involutoria vale — 1 (i).
Dati gli elementi doppi U, V di una involuzione, questa è
pienamente determinata; e la costruzione dell'elemento A' con-
iugato con un elemento noto A, si riduce alla costruzione del
quarto armonico dopo tre elementi dati. x4.11a stessa operazione
si riduce la costruzione di un elemento doppio di una involu-
zione, di cui si conosca l'altro elemento doppio ed una cop-
pia AA'.
87. Costruzione degli elementi doppi di una involuzione. —
Determinata una involuzione mediante due coppie A A', BB'^
costruirne gli elementi doppi significa costruire due elementi
C7", 7, che dividano armonicamente AA' q BB'. Ora noi sap-
piamo risolvere graficamente questo problema (n.'' 53), quando
(*) Allo stesso risultato si sarebbe giunti osservando che la (1) esprime,
nel tempo stesso, la condizione perchè i due elementi x, x' siano coniu-
gati nella nostra involuzione, e la condizione perchè dividano armonicamente
la coppia (2) (n.° 54, a)).