Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 240 — le quali (se x, y sono coordinate cartesiane) rappresentano parametricamente la retta X — a ' y — h' a 6 " Qui tt', 6' sono le coordinate di un particolar punto P' della retta, mentre a, h definiscono la direzione della retta, ed in assi ortogonali sono proporzionali ai coseni di direzione di essa; posto che siano uguali a quei coseni, il parametro t misura la distanza fra il punto fisso P'{a, h) e il punto variabile P{x, y) descrivente la retta. Un secondo esempio è offerto dalle equazioni X =^ r cos gp, y z=z r sen go, dove r è costante e go il parametro, le quali in assi ortogonali danno il cerchio x^ -\- y^ z=z r'^ avente il centro nell' origine e il raggio r. Il parametro q> misura r angolo formato dall' asse x colla retta che unisce l' origine al punto {x, y), mobile sul cerchio. 148. Luogo (Iella intersezione di rette omologhe in fasci proiettivi. — Come applicazione del metodo esposto nel n*" 146, cerchiamo il luogo del punto d'incontro di rette omologhe in due fasci proiettivi giacenti in un piano, ma non sovrapposti. Per procedere con maggior semplicità premettiamo la seguente osservazione. Siano date in un fascio tre rette che (riferite ad assi cartesiani) abbiano le seguenti equazioni abbreviate (n.** 110): ^ = 0, wz = 0, l -\- Àm =^ 0. Se ora introduciamo il fattore À nei singoli coefficienti del polinomio m, la nuova equazione im = (il cui primo membro si potrà indicare con una sola lettera) rappresenterà sempre la seconda retta data ; ma intanto noi potremo considerare l'equazione della terza retta come ottenuta sommando membro a ìnemhro le equazioni delle prime due rette. Sicché, date le equazioni di due rette di un fascio, modificando, se è necessario, una di queste mediante un conveniente fattore, si può ottenere che l'equazione formata sommando quelle due, rappresenti una terza retta assegnata nel fascio. Ciò posto, siano due fasci proiettivi 8 ed 8' giacenti nello stesso piano; la proiettività sarà determinata (n." 62) allor-
— 241 — quando siano assegnate tre rette Z, m, n nel fascio 8^ e le corrispondenti l\ m', n' nel fascio 8'. Per la considerazione ora fatta, le equazioni delle rette /, m, fi] l\ m'j n', si potranno scrivere rispettivamente sotto la forma: 1=0, m = 0, l -{- m = 0, V =0, m' = 0, r -f m' = 0. Nella proiettivita così determinata, alla retta Z -j- ^*^ = (l^l primo fascio corrisponderà nel secondo fascio una certa retta r -\- k'm' = 0; ma il doppio rapporto di quattro rette nel fascio 8 deve essere uguale al doppio rapporto delle corrispondenti rette nell'altro fascio 8'^ perciò sarà (n.° 107) Ti = k'. Siamo cosi condotti a cercare la equazione del luogo della intersezione delle due rette corrispondenti di -S', 8' ^^ ^ l Ar km z= 0, ( V + km' = 0, le quali variano insieme al variare di k. Questa equazione si otterrà dunque eliminando k fra le equazioni (1). Risulta (2) Im' — l'm = 0. La (2) è di secondo grado nelle coordinate x^ y (che entrano linearmente nei polinomi /, m, Z', m')\ il luogo nominato è dunque di secondo ordine. I centri 8, 8' dei due fasci appartengono al luogo; infatti le coordinate del punto ^S, ad esempio, an- nullano i polinomi Z, m e quindi soddisfano alla (2). Sicché possiamo conchiudere: Il luogo del punto d'incontro di rette omologhe in due fasci proiettivi, giacenti in uno stesso piano, ma non concentrici, è di secondo ordine e passa per i centri dei due fasci. Se la retta 88' comune ai due fasci fosse unita, rappre- sentando con l = quella retta, il polinomio l' si potrebbe ritener identico al polinomio Z, e.la equazione (2) del luogo assumerebbe la forma l(m — m') = 0. Ora questa rappresenta l'insieme delle due rette l =z= 0, m — w' = 0, di cui la prima è la SS', mentre la seconda sarà il luogo delle intersezioni di rette corrispondenti non unite. Si ritrova così 16
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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