Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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e quindi le coordinate (1, 1, 1). È facile vedere che le rette
proiettanti da X i punti cu, pu della retta m (a; = 0) hanno
rispettivamente le equazioni
?/ -f = 0, vy -^ wz z= 0'^
queste due rette formano adunque colle v,
7/ = 0, ^ = 0,
w^ di equazioni
il doppio rapporto
uivwep) = w
Operando in modo analogo sugli altri lati del triangolo
fondamentale, troviamo che, iì.ssato un trilatero u, v, w ed una
reità unità e, la quale non contenga alcun vertice di questo^ per
coordinate proiettive omogenee di una retta p si devono intendere
tre numeri u, v, w, tali che sussistano le relazioni (di cui due
sole indipendenti)
— ^ u{vwep), — = viwuep). — = w(uvep).
W u V
\ J. /
Partendo da quest'ultima definizione, si può ritenere che la
retta unità e sia una retta generica del piano. Ma se si vuole,
come sarà sempre supposto, che la nuova definizione concordi
colla precedente, o, in altri termini, che la (1) esprima la con-
dizione di appartenenza di punto e retta, bisogna che la retta
unità sia rappresentata in coordinate di punti dall'equazione (2).
E ciò esige, come si dimostra facilmente, che per retta unità
si scelga la retta armonica del punto unità, rispetto al trian-
golo fondamentale (n." 110, d)) Q).
In questa ipotesi la (1), secondo che in essa si suppongono
variabili le x^ ?/, 0, o le u, v, w, rappresenta la retta p(?*, v, w)
in coordinate di punti, o il punto P(x, y, z) in coordinate di
rette. Un punto è rappresentato adunque da un'' equazione lineare
in coordinate proiettive di rette. Ad es. il punto X ^i vw Ilo,
l'equazione m = 0; ecc.
Tutte le considerazioni stabilite al n.° 129, allo scopo di
esprimere analiticamente le relazioni di posizione di punti e rette
(}) Sì osservi infatti che le rette proiettanti da X i punti eu ed. E
hanno le equazioni y-\-z = 0, y--z=:0, e quindi dividono armonicamente
le rette XY, XZ\ ecc.