Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 112 nata cosila proiettività ( ^ ,,,^ ,) tra i due fasci 8, 8', si costruisca di una retta arbitraria d di 8 la corrispondente retta d' di 8'. Saranno allora D ^: du e D' ^id'u' due punti corrispondenti delle punteggiate m, u' . così la proiettività ( , ì fra le due punteggiate s, s', si costruisca di un punto arbitrario D di s il corrispondente punto D' di s'. Saranno allora d ^ DU e d' = D'TJ' due rette corrispondenti dei fasci U, U'. 69. Nuova definizione della proiettività — Le costruzioni del n.° precedente mostrano che, date due forme di 1*^. specie in corrispondenza proiettiva, si può sempre passare dall'una all'altra (e precisamente da ogni elemento dell'una al corrispondente elemento dell' altra) con un numero finito di operazioni di proiezione o sezione. Per esempio, nel caso che i sostegni u^ u' di due punteggiate riferite proiettivamente giac- ciano in un piano senza coincidere, per passare dalla punteggiata ABCD . . . su ^t, alla punteggiata A'B'C'D' ... su m', basta (si veda la figura del n.° 68, a sinistra) proiettare la prima punteggiata da 8, segare il fascio cosi ottenuto con m", proiettare la nuova punteggiata da ;S", e segare il nuovo fascio con u'. Siccome d'altra parte si sa (n." 59) che due forme di 1^ specie, una delle quali possa dedursi dall' altra mediante una o più operazioni di proiezione o sezione, sono in corrispondenza proiettiva, cosi si conclude che la definizione di proiettività da noi data (n.° 68) può sostituirsi colla seguente, adottata da vari autori: Due forme di pritna specie diconsi riferite proiettivamente, quando si può passare dalV una a/ra/^ra (e precisamente da ogni elemento delFuna al corrispondente elemento dell'altra) con un numero finito di proiezioni e sezioni (^). 70. Asse e centro di proiettività. — La costruzione della proiettività fra due forme non sovrapposte (n.° 68) si sempli- fica, quando si scelgano convenientemente gli elementi ausi- (^) O in altre parole: chiamasi proiettività il prodotto di un numero finito di corrispondenze prospettive.
— 113 — liari {8 ed 8\ oppure s ed s') di cui si dispone, e ciò in base ai teoremi seguenti: Date in un piano due punteggiate proiettive, non sovrop- po.stc, AB CD... A A'B'C'D'..., i punti • AB' A'B, AC BC . B'C,.. . A'C,..., stanno tutti sopra una stessa retta, la quale sega il sostegno di ciascuna punteggiata in un punto, che ha per corrispondente suW altra punteggiata la intersezione dei due sostegni. Quella retta dicesi asse di proiettirità delle due punteggiate. Dati in un piano due fasci di rette proiettivi, non sovrap- posti, ahcd . . . 7\ a'b'c' . . . le rette ab' • a' b, be' ac a e. b'c,...' passano tutte per uno stesso punto, il quale, congiunto col centro di ciascun fascio, dà una retta, che ha per corrispondente nelV altro fascio la congiungente i due centri. Quel punto dicesi centro di proiettività dei due fasci. Dimostriamo, ad es., il teorema di sinistra. Dette u due punteggiate proiettive, si proiettino queste da due punti corrispondenti, presi ordinata- mente sopra u' ed M, ad es. da A' ed A (posto che ne A né A' cadano in uu'^. Otterremo i due fasci A'iABCD...) A AiA'B'C'D'...), , u' le i quali riescono prospettivi perchè hanno la retta unita A A'. Segue che le intersezioni di rette corrispondenti A'B AB' = M, A'C ' AC = N, A'D AD',... cadono sopra una stessa retta s, nota la quale, si può subito costruire sopra una delle punteggiate il corrispondente di un punto qualsiasi dell'altra. Cosi si vede che il punto uu', considerato sopra u, e detto P, ha per corrispondente sopra u' il punto P' intersezione con s; e similmente il punto uu', considerato sopra u', e detto Q', ha per corrispondente sopra u il punto Q intersezione con s. Ora le considerazioni qui fatte
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 175 — si può costruire una s
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 399 — La costruzione degli as
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— 401 — La prima proposizione s
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— 403 — gonali^ proponiamoci di
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 415 — dove p è una costante
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 501 — Indicando i tre denomin
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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