Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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(mentre per un punto del piano passano due coniche della
schiera, reali od immaginarie). Una schiera è costituita, ad es.,
da tutte le coniche iscritte in un quadrilatero (n.° 223).
Le coppie di tangenti condotte da un punto del piano alle in-
finite coniche di una schiera, formano una involuzione. Questo
teorema corrisponde per dualità a quello di Desakgues, sotto
la forma generale del n° 227.
Osservazione. — Le coniche di un fascio generalmente non
formano una schiera, giacché, tra quelle, due toccano in generale
una stessa retta del piano. Però è fascio e schiera ad un tempo
il sistema delle coniche che hanno due contatti semplici in due
punti fissi (^fascio-schiera delle coniche bitangenti, cfr. n.° 225),
ed il sistema delle coniche che hanno un contatto quadripunto
in un punto fìsso.
Esercizi. I. — 1) Costruire mediante fasci proiettivi, o mediante il
teorema di Pascal:
a) una parabola, dati tre punti propri e il punto all' infinito ;
b) una iperbole, dati tre punti propri e le direzioni degli asintoti (co-
stniendo in particolare gli asintoti);
e) una iperbole, di cui siano dati tre punti propri ed un asintoto
(cfr. n.° 222, es. 1, ò) ), od un punto proprio e i due asintoti (cfr. n." 222,
es. 1, e) ).
2) Costruire mediante punteggiate proiettive, o mediante il teorema
di Beianchon:
a) una parabola, di cui siano date quattro tangenti (costruendo in par-
ticolare il punto all'infinito della curva, la tangente parallela ad una retta
assegnata . . . ) ;
b) una iperbole, di cui siano date tre tangenti ed un asintoto, od una
tangente e i due asintoti.
3) Costruire una conica essendo dati tre punti di essa, e di un punto
del piano conoscendosi la polare; (ciascuno dei punti dati quanti altri punti
fornisce? è sempre determinato il problema?). Problema duale.
4) Costruire una conica conoscendone un triangolo autopolare, ed inoltre
due punti di essa, o due tangenti, od un punto colla relativa tangente;
(quanti altri elementi della curva possono subito costruirsi? in qual caso
il problema è indeterminato?).
5) Determinata una conica mediante cinque punti (o 4, 3 punti e le
tangenti in 1, 2 di essi), costruire linearmente di un punto arbitrario la po-
lare rispetto alla curva. Problema duale.
6) Rispetto alla conica dell' es. precedente costruire il polo di una retta
data; (si costruiranno le polari di due punti scelti convenientemente sulla
retta). Problema duale.