Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 604 — di secondo grado in z, e sostituendone successivamente le ra- dici 01 , «2 nelle espressioni di a: e di y. Si ottengono cosi, in generale, due punti. Per fare una discussione minuziosa del problema conviene adoperare, come retta secante, uno degli assi coordinati, ad es. r asse x(y = 0, z = 0)] ipotesi questa, cui ci si può sempre ridurre, operando, ove occorra, una trasformazione di coordinate. Posto ?/ = ^' = nella (1), questa diviene (2) «iia;'-^ 4- â^x +«44 = 0; di qua si ricavano le ascisse Xi. X2 delle due intersezioni della quadrica coli' asse x. Ora, sulla (2), si possono ripetere le os- servazioni fatte, trattando la questione analoga relativa alle coniche (n.° 195). Basterà dunque enunciare qui il risultato : Una retta sega una quadrica in due punti (propri od impropri), che possono essere reali e distinti, reali e coincidenti, immaginari coniugati; a meno che la retta non abbia più di due punti iti comune colla superficie, nel qual caso tutta la retta giace sulla superficie. Va notato, in quest' ultimo caso, che (al contrario di ciò che accade per le coniche) una quadrica non si spezza necessariamente, per il fatto di contenere una retta. Ad es. un cono, superfìcie non spezzata, contiene infinite rette ; altri esempi, più notevoli, di quadriche contenenti rette saranno visti in seguito. Una retta, che seghi una quadrica in due punti reali e distinti, dicesi secante ; in due punti immaginari, dicesi non secante ; in due punti reali e coincidenti, dicesi tangente alla quadrica nel punto {di contatto), ove quei due coincidono. 343. Intersezione con un piano. — Supponiamo, per sem- plicità, che si tratti di un piano coordinato, ad esempio del piano xy{z = 0), avvertendo che ogni altro piano (proprio) potrebbe assumersi come piano xy, pur di eseguire una con- veniente trasformazione di coordinate Q). (^) La curva intersezione di una quadrica f{x, y, z) = con un piano generico z =^ ax -\- by -}- e è già rappresentata dalle due equazioni scritte ; volendo la proiezione della curva sul piano xy, dal punto all' infinito dell' asse z, basta (n.° 319) eliminare z tra le due equazioni ; si
— 605 — La curva intersezione della quadrica (1) (n.° 340) col piano xy, si ottiene ponendo 2 = nella (1) ; si giunge cosi all' equazione (3) aux^" -{- a^^y"- -f '2ia^^_xy -\- â^^x -\- â^^^y -\- a^^ = 0, la quale, nel piano xy (cioè insieme alla z = 0), rappresenta una conica (^). Il risultato vale, anche se uno o più (ma non tutti i) coefficienti della (3) sono nulli ; giaccliè, ad es., ove fossero «11 = «22 = «12 =^ 0, ricorrendo all'equazione omogenea (!') della quadrica (n.° 340) e ponendovi 2; = rebbe, in luogo della (3), la equazione t(2aux + 2^242/ + «44O = 0, 0, si trove- rappresentante, nel piano xy, due rette, tra cui la retta all'infinito ^ =: 0. Se però tutti i coefficienti della (3) sono nulli, ogni punto {x, y, 0) del piano xy appartiene alla superficie. Questa contiene dunque il piano xy, e si spezza nel piano stesso ed in un secondo piano (distinto o coincidente col primo), come prova la equazione (^1), la quale, nelle ipotesi in cui ci tro- viamo, diviene z(2aisx + 2a23^ + «33^ + 2^34) = 0, e rappresenta i due piani z =^ 0, â^^x -\- ... -|- 2 «34 =0. Concludendo : Un piano sega una quadrica lungo una conica ; a meno che tutto il piano non formi parte della quadrica, la quale allora si spezza in quel piano ed in un secondo piano (che può eventualmente coincidere col primo). Esclusa l' ultima ipotesi, la curva intersezione di una quadrica con un piano può presentare, sotto l'aspetto proiettivo, i seguenti tre casi : 1) può essere una conica reale, non degenere, nel qual caso il piano dicesi secante \ ottiene cosi l'equazione f{x, y, ax + by -\- e) = 0, che è di secondo grado in x, y, e rappresenta, nel piano xy, una conica; donde si conclude che anche la curva obbiettiva è una conica. (^ La (3), presa a sé, rappresenta, nello spazio, un cilindro (u." 318) colle generatrici parallele all'asse ^, passante per la conica nominata.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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— 5 — fascio, chiamando proprio
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— 7 — Segue che i punti impropr
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 19 — ha dunque per corrispond
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 91 — Capitolo II. Proiettivit
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— 93 — doppio rapporto dei quat
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— 103 — Se un punto sopra u va
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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— 109 — E importante notare che
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 121 — proiettività parabolic
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— 123 — A, B, C . . . della cir
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 145 — opposti del triangolo,
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 185 — questa convenzione cost
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 235 — trica a cui obbedisce u
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% — 245 — continuità, si consi
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— 259 — superiori o inferiori.
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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— 269 — \si OA perpendicolare a
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 365 — 32) Dal teorema dell' e
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 391 — Im- sicché ± Vx^ -\-
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— 399 — La costruzione degli as
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— 415 — dove p è una costante
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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— 425 — nelle quali le incognit
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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- e\c -j- Q cos f) = —
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- 470 — dove si suppone precisame
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— 472 — sistema di coordinate p
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
Page 527 and 528:
— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
Page 531 and 532:
— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536:
— 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538:
— 519 — 297. Distanza dì due p
Page 539 and 540:
e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542:
— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
Page 561 and 562:
^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566:
— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
Page 571 and 572: — 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574: — 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576: — 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578: — 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580: — 561 — Il teorema si dimostra
Page 581 and 582: — 563 — come piano XY di un nuo
Page 583 and 584: — 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586: — 667 — essere tutte nulle). Al
Page 587 and 588: — 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590: X — a
Page 591 and 592: — 573 — Se il vertice coincide
Page 593 and 594: — ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596: — 577 — essi (n.° 312). Tra gl
Page 597 and 598: — 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600: — 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602: -^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604: — 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606: — 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608: — 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610: — 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612: ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614: — 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616: — 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618: — 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620: — 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621: — 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 625 and 626: — 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628: — 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644: — 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652: — 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656: — 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658: — 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660: — 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662: — 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664: — 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666: — 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668: — 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670: — 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672: — 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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