Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 664 — presenta, se una radice ki della (5) annulla tutti gli elementi del determinante (5), e rende quindi identicamente verificate le (4) ; allora infatti ogni piano diametrale è principale. D' altra parte, affinchè ciò accada, occorre e basta che siano verificate le condizioni ttii := (222 =^ *33 ) ^12 =^ ^13 ^=^ fi^23 =^ 0, le quali esprimono che la superficie è una sfera (n.'' 323) ; in tal caso ki = au è radice tripla della (5). Viceversa, si dimostra che, se la (5) ha una radice tripla, son verificate le ultime condizioni, e la quadrica è una sfera C). In conclusione : Se r equazione i(k) = ammette una radice, che annulli tutti i minori del secondo ordine del determinante A (k) (ossia, se ha una radice doppia), la quadrica è rotonda; se ammette una radice, che annulli tutti gli elementi del determinante (ossia, se ha una radice tripla), la quadrica è una sfera; e viceversa. 382. I piani principali di una quadrica in relazione col cerchio assoluto. — La ricerca analitica dei piani principali di una quadrica (n.° 378) vien messa in luce più viva, mediante le considerazioni geometriche seguenti. Si considerino insieme la conica all' infinito jH"», della quadrica, ed il cerchio assoluto £2^; queste due coniche si segano in quattro punti immaginari, i quali (provenendo dalla risolu- zione di due equazioni a coeffi centi reali) si distribuiscono in due coppie (M, if' ), (N', N') di punti immaginari coniugati. I punti stessi determinano un quadrangolo completo, in cui una coppia di lati opposti si compone di rette reali (MM', NN') (n.° 121), e le altre due coppie si compongono, ciascuna, di rette immaginarie coniugate (come ad qs.MN', MN'). E dunque reale (n.° 121) il triangolo diagonale PR8 del qua- (}) Infatti, se /tj è radice tripla dell'equazione 4 = 0, essa verifica l'equazione prima derivata, ed annulla quindi (in virtù della nota prece- dente) tutti i minori Au; essa verifica inoltre 1' equazione seconda derivata ^11 + ^M + ^33 = 0. Moltiplicando i due membri di questa per da , e ricordando che òii S,, — (5%, = A,„„, , ossia = 0, per k = A'i, si vede die iti rende (^n + ^22 + àz3)îi = ^'li + àSi -f e quindi î, = 0, Sa = 0, ^3, = 0, per i = 1, 2, 3.
— 665 — drangolo ; ed è autopolare rispetto alle due coniche H^^ Q^, (n.° 228). Ne viene che il piano polare di P, rispetto alla quadrica, cioè il piano diametrale coniugato alla direzione di P, passa per R8^ ed è normale alla detta direzione (n." 190). Quel piano è dunque piano principale della quadrica. Risulta cosi nuovamente che una quadrica ha tre piani principali reali, che sono i piani polari di P, P, >S'; se la quadrica ha centro, essi si ottengono proiettando dal centro i lati del triangolo PR8\ se la quadrica è un paraboloide, nel qual caso Hj^ dege- nera in due rette (lati opposti del quadrangolo nominato), secan- tisi in un vertice P del triangolo diagonale, il piano principale, che è polare di P, coincide col piano all'infinito, e restano due piani principali propri, passanti per PR, PS, rispettivamente. Può darsi che le quattro intersezioni M, il/', N, N' delle coniche -H"ccj ^ x non siano tutte distinte; non può però M coincidere col punto immaginario coniugato M ', se non in un punto reale, mentre i2 j. non ha punti reali; dovrà dunque M coincidere, ad es., con ÌV, e, in conseguenza, 3£' an- drà a coincidere con N': le due coniche allora si toccano in due punti immaginari coniugati ilf = iV, il/' = N'. Le tangenti (immaginarie coniugate) in questi punti si segheranno in un punto reale P. Ora, questa volta, il punto P con una qualsiasi delle infinite coppie di punti P, S, dividenti armonicamente MM', dà un triangolo autopolare rispetto alle due coniche. Esistono dunque infiniti triangoli siffatti, col vertice P e ; la nostra quadrica possiede infiniti piani principali, di cui tutti, tranne uno, passano per P; la quadrica, in breve, è rotonda intorno ad un asse passante per P. Osservando che questi ragiona- menti sono invertibili, si giunge al notevole risultato: condizione necessaria e sufficiente, perchè una quadrica sia rotonda, è che In sua conica aWinfinito tocchi in due punti il cercliìo assoluto. Se poi -Hgr ed Q^ coincidono, si ha il caso della sfera. Volendo porre sotto forma analitica questo considerazioni, si osservi che (ove si rappresenti la quadrica colla solita equazione «na?* -fall'infinito f = 0, le equazioni (n.' 370; 323, Oss.). • • • :^= 0) le coniche Hj, ed Qj: hanno, sul piano aux"" -f «22^/^ H- «^332^' + âuxy -j- la^^xz -j- 2a.nyz = 0, x' -^ y' -\- z'- = 0.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 121 — proiettività parabolic
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— 123 — A, B, C . . . della cir
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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— 335 — nel campo proiettivo ;
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 383 — tre coniche degenen (a
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— 409 — dovrà la (d) mancare d
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— 415 — dove p è una costante
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 457 — il piano di K' intorno
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 501 — Indicando i tre denomin
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644: — 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652: — 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656: — 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658: — 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660: — 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662: — 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664: — 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666: — 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668: — 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670: — 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672: — 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674: — 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676: — 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678: — 659 — Concludiamo che una qua
Page 679 and 680: — 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681: k — 663 — Ritornando al problem
Page 685 and 686: — 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688: — 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690: — 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692: — 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694: — 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696: — 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698: — 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700: — 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702: questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704: — 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706: — 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708: — 689 — Se invece avessimo adop
Page 709 and 710: — 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712: Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714: — 695 — sicché il paraboloide
Page 715 and 716: — 697 — Ora questo teorema può
Page 717 and 718: — 699 — 2) Ogni iperboloide rif
Page 719 and 720: — 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722: — 703 — perfide. Ora, se -ST è
Page 723 and 724: — 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726: — 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728: — 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730: — 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732: — 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
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— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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