Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 524 — male n forma cogli assi coordinati x, y, z. Osserviamo poi che il segmento ON = p è la proiezione ortogonale, sopra n, di ciascuno" dei segmenti OA, OB, OC, che il piano stacca sugli assi a partire dall' origine ; ciò almeno nella ipotesi, in cui per ora ci mettiamo, che i punti A, B, C siano propri e diversi da 0, vale a dire, che le quantità a, h, e, d siano tutte diverse da zero. Ricordando i valori di quei tre segmenti (— ^, ^-, — ^-; n.'' 285), otteniamo la relazione ^ cos a =z p e le analoghe, ossia cos a cos /? cos y p a b e d ^ od anche, indicando con q il valore comune dei quattro rapporti, (2) coso; = a^, cos/? = Òq, cos 7 = cq, — p = dq. Le tre prime, quando si tenga conto della relazione fra i coseni di direzione di una retta (n.° 298, (5) ), di calcolare q ; si trova (3) Q = ,- e quindi cos a = , . .',. „ — r , + l/a2 62 -f + c2' - . cos 3 =z . r — ci permettono , it|/a2 + Ò2 _|_ ^2' ^ dzVa^ + 62 + c2' cos y = , _ e _-:r , zt\/a^ -\- 62 _|_ c2' ; . l'ultima delle quali permette di decidere il segno del radicale, quando si osservi che p ha un segno determinato, ad es. positivo, in relazione col verso positivo fissato su n. Moltiplicando la (1) per q, e tenendo conto delle (2), la equazione del piano si presenta sotto la forma nonnaie (6) X cos a -\- y cos ^ -]- z cos y — P = 0, la quale, in virtù della (3), coincide termine a termine colla equazione aa; +^y {7\ -j- cz ^ d _ ^ ^ ^ ± Va^ + 62 + c2 quando in questa si stacchino i termini contenenti le singole variabili ed il termine noto. d
— 525 — Ora questi risultati, ed anche le stesse relazioni (2), valgono, qualunque sia la posizione del piano n rispetto agli assi. In- fatti, se, ad es., 71 è parallelo all'asse x^ nella prima delle (2) si ha a = 0, cos a =: 0, mentre le altre rimangono inalterate ; se -ji passa per 0, nell' ultima delle (2) si porrà ^ = 0, ]9 =0, mentre le rimanenti sussistono, come si verificherebbe sosti- tuendo per un momento al piano n un piano parallelo. Con- cludiamo che : La equazione di ogni piano può scriversi, assumendo come coefficienti delle variabili x, y, z i coseni di direzione di una normale al jìiano^ e come termine noto la distanza^ cambiata di segno, dell' origine dal piano. La equazione generale (1) di un piano si traduce nella forma normale (6), dividendone il primo membro per la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti delle variabili. Giova pure tener presente il risultato contenuto nelle equazioni (4) : I coseni di direzione della normale ad un piano sono pro- porzionali ai coefficienti delle variabili nella equazione generale del piano, e si ottengono dividendo i detti coefficienti per la radice quadrata della somma dei loro quadrati. 302. Distanza di un punto da un piano. — Sia P{x', y', z') il punto, ed il piano n sia dato mediante la equazione normale X cosa -]- y C0S|5 -\- z cos 7 — p z= 0. Si conduca per P il piano parallelo a n, il quale seghi n in N', e si ponga ON' = p' (v. fig. a pag. 523); l'equazione normale di questo nuovo piano X cosa -\- y cos/? -f- z cos/ — p' = 0, dovrà esser soddisfatta dalle coordinate di P; segue p' :=. x' cosa -|- y' cos/5 -j- z' cos/. Ora la distanza ò == PQ = N'N dal piano ji è data da (cfr. n.'' 116) (^) ò =z p — i?' = — {x' cos a -\- y' cos j5 -\- z' cosy — p)\ dunque : La distanza di un punto di date coordinate da un piano di data equazione normale è il valore opposto a quello, che assume U primo membro della equazione stessa, quando, al posto delle
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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— 5 — fascio, chiamando proprio
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— 7 — Segue che i punti impropr
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 59 — la figura da un punto 8
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— 61 — Il procedimento si esten
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dove si è posto per brevità — 7
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 97 — ad es., Xo
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 121 — proiettività parabolic
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— 123 — A, B, C . . . della cir
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 145 — opposti del triangolo,
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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— 201 — Esercìzi. — 1) Come
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 215 — UN. La ipotesi è dunqu
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 235 — trica a cui obbedisce u
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— 259 — superiori o inferiori.
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 359 — a primo grado, si ricon
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 365 — 32) Dal teorema dell' e
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 383 — tre coniche degenen (a
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— 399 — La costruzione degli as
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— 401 — La prima proposizione s
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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— 427 — 252. Teoremi di Apollon
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 447 — lori costanti, coordina
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 472 — sistema di coordinate p
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Page 533 and 534: — 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536: — 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538: — 519 — 297. Distanza dì due p
Page 539 and 540: e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541: — 523 — Per calcolare il seno d
Page 545 and 546: — 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548: — 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550: — 531 — ordine uguagliato a zer
Page 551 and 552: — 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554: — 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556: — 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558: — 539 — Si osserverà che i nov
Page 559 and 560: — 541 — cartesiano^ le coordina
Page 561 and 562: ^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564: — 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566: — 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568: — 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570: — 551 — Si ha qui una giustific
Page 571 and 572: — 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574: — 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576: — 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578: — 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580: — 561 — Il teorema si dimostra
Page 581 and 582: — 563 — come piano XY di un nuo
Page 583 and 584: — 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586: — 667 — essere tutte nulle). Al
Page 587 and 588: — 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590: X — a
Page 591 and 592: — 573 — Se il vertice coincide
Page 593 and 594:
— ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596:
— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
Page 597 and 598:
— 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600:
— 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602:
-^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604:
— 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606:
— 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608:
— 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610:
— 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612:
ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614:
— 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616:
— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618:
— 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620:
— 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622:
— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624:
— 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626:
— 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628:
— 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630:
— 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632:
— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636:
— 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638:
— 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640:
— 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642:
— 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644:
— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650:
— 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652:
— 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654:
— 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656:
— 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660:
— 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662:
— 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664:
— 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666:
— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670:
— 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672:
— 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674:
— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676:
— 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678:
— 659 — Concludiamo che una qua
Page 679 and 680:
— 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682:
k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684:
— 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686:
— 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688:
— 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690:
— 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692:
— 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694:
— 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696:
— 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698:
— 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700:
— 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702:
questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704:
— 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706:
— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708:
— 689 — Se invece avessimo adop
Page 709 and 710:
— 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712:
Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714:
— 695 — sicché il paraboloide
Page 715 and 716:
— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722:
— 703 — perfide. Ora, se -ST è
Page 723 and 724:
— 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726:
— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732:
— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
Page 735 and 736:
— 717 — una quadrica inviluppo
Page 737 and 738:
— 719 — si trovano distribuiti
Page 739 and 740:
— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
Page 744 and 745:
— 726 — 6) Condizione, perchè
Page 746 and 747:
(22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749:
— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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