Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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. — 530 — tivo (cioè da siaistra verso destra), si riguarderà come positivo il volume del tetraedro; altrimenti si riterrà negativo (^). Volendo ora esaminare quali convenzioni debbano farsi, perchè la formola (2) valga anche nel segno, si noti che, se il vertice P^ix^, 2/4, z^) varia, mentre Pi, Pg, P3 restano fissi, il primo membro della (2) cambia segno, ogniqualvolta P4 attraversa il piano PiPgPg, passando dall'una al- l'altra banda, e solo in questo caso. Ma nel tempo stesso cambia segno anche il determinante a secondo membro, come risulta dalla osservazione del n." 302. Dunque, per ogni posizione di P4 , i due membri della (2) hanno, o sempre lo stesso segno, sempre il segno opposto; e lo stesso fatto si verifica variando gli altri vertici. Per decidere quale dei due casi si pre- senti, si consideri il tetraedro, che ha i vertici (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), il cui volume è positivo per definizione. Poiché il determinante, che si trova nella (2), acquista in corrispondenza il valore — 1, concludiamo che la formola (2) vale anche nei segni, quando a secondo membro si premetta il segno — 307. Minima distanza fra due rette. — Per fare una ap- plicazione di varie formole precedenti, proponiamoci di determinare la minima distanza fra le due rette ».) X Ti) 7 E noto che per minima distanza si intende la lunghezza del segmento, avente gli estremi su r^ r^, e perpendicolare ad entrambe le rette ; segmento uguale alla distanza fra un punto qualsiasi di r^, ad es. {x2, 1/2, 2^2), ed il piano tti condotto per r^ parallelamente ad r2. L'equazione del piano tii sarà del tipo ax -\- by -\- cz -\- d =z 0] le condizioni di contenere la retta rj, e di esser parallelo alla retta rs, sono espresse (n.*' 292) da axi -{- byi -{- czi -^ d ^ 0, ali -|- bnii -\- cfii = 0, alo -j- bm2 -J- cn2 = 0. Eliminando a, 6, e, d fra le quattro ultime relazioni, si ottiene r equazione del piano sotto forma di un determinante di quarto
— 531 — ordine uguagliato a zero; e questa equazione si riduce subito alla seguente: (1) X — Xi y — Vi z — z, L m. = 0. Ora la distanza del punto (x^, 2/2, ^2) da questo piano è espressa dalla formola (n." 302) (2) ó — --. X2 — X, 2/2 — 2/1 h mi Z^ Zi che dà la minima distanza richiesta. Tenendo conto della formola (7) del n.'^ 300, la (2) può anche trascriversi cosi: (2') no ^2 — Xi 7/2 — 2/1 Z-ì — Zy h m^ n. L, m.2 Vh' -{- m. - n^^ V h^ -\- ^2^ -\- n^^ senrir2 L'annullarsi del numeratore esprime che le due rette stanno in un piano; cfr, n.° 293. Si noterà che, se le due rette ri, r.2 sono date mediante le loro equazioni normali (n." 299), se dunque . . ?i . , n-i sono proprio i coseni di direzione cosai, • • • , COS72 delle rette stesse, la (2') diviene ^ X.2 — Xi y-2 — 2/1 ^2 — z, (2") 6 = cosai cos/?i cosvi senri/-2 V. cosa 2 cos/?2 COS72 Se invece la retta r^ è definita come congiungente i punti Pi{xi, z/i, z^, P'{x\ y\ z'), e la rg come congiungente P2(j?2, 2/2,' ^2), P"{x", y'\ z"), nelle quali ipotesi possiamo porre (n.° 282) l'I — X Xif h = x" — 2:2, m^ =:^ y — ?/i, Wi mi = y" — y-2, W2 il determinante, che entra nella (2'), esprime (n.° 306) il sestu- plo del volume del tetraedro PiP'P-iP"^ mentre i radicali
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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% — 245 — continuità, si consi
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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- e\c -j- Q cos f) = —
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Page 535 and 536: — 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538: — 519 — 297. Distanza dì due p
Page 539 and 540: e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542: — 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544: — 525 — Ora questi risultati, e
Page 545 and 546: — 527 — Similmente si vede che
Page 547: — 629 — quarto vertice dalla fa
Page 551 and 552: — 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554: — 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556: — 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558: — 539 — Si osserverà che i nov
Page 559 and 560: — 541 — cartesiano^ le coordina
Page 561 and 562: ^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564: — 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566: — 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568: — 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570: — 551 — Si ha qui una giustific
Page 571 and 572: — 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574: — 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576: — 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578: — 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580: — 561 — Il teorema si dimostra
Page 581 and 582: — 563 — come piano XY di un nuo
Page 583 and 584: — 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586: — 667 — essere tutte nulle). Al
Page 587 and 588: — 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590: X — a
Page 591 and 592: — 573 — Se il vertice coincide
Page 593 and 594: — ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596: — 577 — essi (n.° 312). Tra gl
Page 597 and 598: — 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600:
— 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602:
-^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604:
— 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606:
— 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608:
— 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610:
— 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612:
ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614:
— 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616:
— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618:
— 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620:
— 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622:
— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624:
— 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626:
— 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628:
— 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630:
— 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632:
— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636:
— 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638:
— 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640:
— 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642:
— 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644:
— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650:
— 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652:
— 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654:
— 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656:
— 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660:
— 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662:
— 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664:
— 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666:
— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670:
— 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672:
— 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674:
— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676:
— 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678:
— 659 — Concludiamo che una qua
Page 679 and 680:
— 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682:
k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684:
— 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686:
— 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688:
— 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690:
— 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692:
— 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694:
— 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696:
— 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698:
— 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700:
— 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702:
questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704:
— 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706:
— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708:
— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712:
Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714:
— 695 — sicché il paraboloide
Page 715 and 716:
— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722:
— 703 — perfide. Ora, se -ST è
Page 723 and 724:
— 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726:
— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732:
— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
Page 735 and 736:
— 717 — una quadrica inviluppo
Page 737 and 738:
— 719 — si trovano distribuiti
Page 739 and 740:
— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
Page 744 and 745:
— 726 — 6) Condizione, perchè
Page 746 and 747:
(22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749:
— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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