Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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danno i segmenti P,P', P.2P" ] e la formola (2') equivale alla
seguente
(3) 6P,P'P,P'^ = P,P' •
P^P"
.
ósenr.r^.
Per tradurla in parole, si chiami (con Oayley) momento di
due rette sghembe il prodotto della loro minima distanza per il
seno dell' angolo che esse formano ; si avrà allora il teorema di
Chasles: il sestuplo del volume di un tetraedro è espresso dal
prodotto di due lati opposti per il momento delle rette, cui essi
appartengono.
Esercizi I. — 1) Una retta forma con tre assi ortogonali angoli uguali ;
qual' è il comune valore di questi ?
2) Un piano stacca sui tre assi coordinati segmenti uguali ; si calcoli
il diedro formato da esso coi piani coordinati.
3) Si calcolino i coseni di direzione delle seguenti rette: a) x = 2^ -f- 3,
y = 3z — 1; b) 2x — ;j ^ 3z -\- 1 = 0, X — 3y -{- z — 1 = 0;
e) ax -{- by -i- cz -j- d = 0, a'x -f b'y + e' z + d' = 0; d) normale
al piano 3x -\- 4:y — òz -{- 1 = 0.
4) Dato il tetraedro, i cui vertici hanno per coordinate (0, 0, 2),
(1, 0, 0), (— 2, 1, 0), (1, 1, 1), determinare le lunghezze dei lati, le aree
delle facce e il volume.
5) Trovare 1" angolo delle due rette
^ y^_ z_^ x _
"2 - y-s" - Yy' y^ = y^' = ^-
6) Gli spigoli di un angolo triedro hanno per equazioni: x ^= 2y =1 z,
— X =: y = z, X =: — 3^ = 2^; si calcolino i valori delle sue facce e
dei suoi angoli diedri. Si risolva lo stesso problema per il triedro, i cui
spigoli sono le bisettrici delle facce del triedro coordinato.
7) Trovare l'angolo della retta x = 2z, y = z -\- 1 col piano
a; — 3^ + 2 =: 0.
8) Condurre per il punto (ce', y', z') il piano perpendicolare alla retta
X ^= Z^+^j^ — mz -{- q, e determinare la intersezione di quello con
questa.
9) Determinare la distanza tra il punto e la retta dell'esercizio pre-
cedente; in particolare, tra il punto (2, 0, — 1) e la retta x = 3^ + 2,
y = 2z — b. (Un primo metodo è suggerito dall'esercizio 8); si può anche
cercare la distanza del punto da un piano generico condotto per la retta,
disponendo del piano in guisa da render minima questa distanza; o finalmente
determinare l' area del triangolo, che ha un vertice nel punto e gli
altri due in due punti scelti sulla retta ).
10) Condurre per il punto (3, 1, — 1) il piano, che è parallelo alla
retta x=^2z~{-3,y =:z,eàè perpendicolare al piano 2x-\-3y — 4z -\- = 0.
11) Trovare le equazioni della retta passante pel punto {x% y',z'), e
che incontra la retta — =—=: — sotto un angolo di 60°, ovvero le è