Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 298 — Ciò è chiaro intanto se >S' non appartiene ad u, giacche una collineazione non identica, fuori di una retta di punti uniti, ha al più un punto unito; e dualmente (n.° 175). Se poi 8 cade in u, si osservi che, ammessa l'esi- stenza di un punto unito T fuori di m, ogni retta per T, congiungendo questo punto unito ad un punto unito di u, sa- rebbe unita, e quindi, fuori del fascio 8 di rette unite, esistereb- bero effettivamente infinite rette unite, il che non è possibile. 179. Proprietà fondamentale e costruzione di una omologia. — Vale il teorema: Punti distinti corrispondentisi in una omologia sono allineati col centro; rette distinte corrispondentisi si segano sulV asse. Infatti, se J., A' sono due punti corrispondenti, ed a, a' due rotte corrispondenti in una omologia di centro 8 ed asse u, la retta 8A (uscente dal centro) è unita, e, poiché contiene A, conterrà pure Jl'; similmente il punto uà (dell'asse) è unito e, appartenendo ad a, apparterrà pure ad a'. Una omologia è individuata quando di essa si conoscano il centro, V asse e due elementi corrispondenti distinti, che possono essere o punti allineati col centro^ o rette secantisi sull'asse. Ammesso, in primo luogo, che esista una omologia avente il centro 8^ l'asse u, e due punti corrispondenti distinti J,, A' allineati con 8, vedremo che in un unico modo si può costruire quel punto B' di tt', che corrisponde ad un dato punto B di Ji. Infatti B' deve appartenere alla retta 8B, ed inoltre alla retta omologa di AB, che passa per A' e per la intersezione di AB con u. La costruzione indicata cadrebbe solo in difetto, quando quel punto, sia D ad es., di cui si chiede 1' omologo D', fosse scelto sopra la retta SA; ma allora basterebbe servirsi in quella costruzione, anziché della coppia A A', di una coppia ausiliare di punti corrispondenti BB\ fuori della retta SA.
l — 299 — Se poi di una retta a si chiedesse la corrispondente a', basterebbe di un punto di a, costruire il corrispondente, e congiun- gerlo col punto uà. Dimostriamo, in secondo luogo, che esiste effettivamente una omologia, di cui sono assegnati arbitrariamente il centro S, Tasse u e due punti corrispondenti ^, A' allineati con S^ ma non cadenti né in /S', ne sopra u. A. tal fine costruiamo (il che può farsi in infiniti modi) due triangoli ABC, A'B'C omologici rispetto al centro -S', ed all'asse u, aventi due vertici omologhi in J., J.'; e consideriamo la coUineazione ben determinata iìii'C') (n.° 168). Questàha come unite tre rettQ SA A', SBB\ SCC, e quindi le infinite rette del fascio S; è adunque una omologia di centro 8. di cui V asse, dovendo contenere i punti di incontro di rette omologhe AB • A'B\ AC A'C, BC - B'C, coincide con u. Esiste per conseguenza l'omologia in discorso. 180. Caratteristica di una omologia. — Sopra una rotta uscente da ^S' i punti arbitrari A, D, . . . , considerati nel piano ?r, e i loro corrispondenti nell'omologia A', D', ... in jt', formano due punteggiate proiettivo sovrapposte, i cui punti uniti sono /S' e il punto U intersezione della retta con u] la proiet- tività è dunque iperbolica, o parabolica, secondochè -S' non cado o cade sopra u. Nel primo caso si ha (n.*^ 73, a)) (SUA A') = (SUDD') = ...; ma lo stesso valore ha il doppio rapporto (SYBB') formato dal punto -S*, da un altro punto V dell'asse e da due punti omologhi B, B' della retta SV, perchè l'ultima quaterna è pro- spettiva a ciascuna delle precedenti; quindi: In una omologia è costante il doppio rapporto formato da due punti omologhi qualunque., dal centro e dalla intersezione della congiung'ente i due punti coW asse; ed ha lo stesso valore il doppio rapporto formato da due rette omologhe, dalla congiungente la loro intersezione col centro, e dalVasse, perchè due rette omologhe a, a' segano una retta per -S^ in due punti omologhi. Questo doppio rapporto costante dicesi caratteristica od invariante assoluto della omologia. La caratteristica ha pure un significato per lo omologie speciali aventi il centro sull'asse; ma per queste ha sempre il valore -f- 1.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 121 — proiettività parabolic
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— 125 — Se nella proiettività
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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Le infinite coniche circo- scritte
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- e\c -j- Q cos f) = —
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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