Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 268 — Da questa, colle note formole di trasformazione (n.° 123), si passa alla equazione in coordinate cartesiane ortogonali, es- sendo l'origine, ed OA l'asse x: (1) (x^ + 2/2)x — ay^ = 0. La cissoide è dunque del terzo ordine, ed è simmetrica rispetto all'asse x, perchè la sua equazione non si altera mutando il segno ad y. L'equazione risolta rispetto ad y, = -^1/; X fa vedere che la curva è tutta compresa nella striscia fra l'asse y(x = 0) e la tangente in A{x = a), e si estende all'infinito al disopra e al disotto dell' asse x, mentre va avvicinandosi sempre più alla detta tangente ; questa è un asintoto della curva (cioè tangente in un punto improprio). I due rami di curva separati dall'asse x si ricongiungono in 0, dove la curva ha un punto singolare. Questo presenta la particolarità che, dei tre punti in cui una retta generica y ^= mx uscente da esso sega la curva, due cadono nel punto stesso, mentre il terzo, di^ coordinate x = ,^,, y = ^^ (% è in generale di- stinto da 0; perciò si suol dire che il punto è doppio per la curva; ed è precisamente una cuspide, perchè una sola retta uscente da 0, l& y = 0, sega ivi la curva in tre punti coincidenti. Il lettore potrà cercare le intersezioni della cissoide colla circonferenza segnata, e dimostrerà facilmente che la curva sega la retta all'infinito nel punto all'infinito dell'asse y e nei punti ciclici. 2) Concoide della retta (o di Nicomede, 2° secolo av. Cr.). Data una retta d (base) ed un punto (polo) fuori della retta, sopra ogni trasversale condotta per 0, e secante d in un punto M, si porti dall' una e dall' altra banda di M un segmento MP = MQ avente una lunghezza l assegnata (intervallo); il luogo dei punti P e Q è la concoide. Assunto come polo, (^) Queste possono riguardarsi come equazioni parametriche della cissoide (cfr. n.° 147).
— 269 — \si OA perpendicolare a d come asse polare, e posto OA l'equazione polare della concoide è (^) cosq) ^; e r equazione cartesiana ortogonale rispetto all'origine 0, e all'asse x coincidente con OA, (2) (x'-i-y'){x--ay V = 0. La curva è del quarto ordine, simmetrica rispetto all'asse x, e si compone di due rami, situati da bande opposte rispetto alla retta d-, i due rami vengono rappresentati insieme dall'e- quazione cartesiana scritta in forma razionale, e quindi costi- tuiscono una unica curva algebrica. La (2), posta sotto la forma y V = x^\ (x — a)' — 1 -2 (^ -|- ^ — ^) (^ — -^ ~h ^)? {x — a)' fa vedere che uno dei due rami è compreso fra le rette x = a, X z= a -^ l, l'altro fra le rette x = a — l, x = a] inoltre che i due rami, mentre si allontanano dall'asse x^ vanno sempre più avvicinandosi alla retta base x =: a. La origine soddisfa colle sue coordinate all'equazione (2) della curva, ed è anzi un punto doppio, perchè una retta generica uscente da, 0, y =^ mx, sega la curva in quattro punti di cui due cadono sempre in 0, mentre gli altri due sono in generale distinti da 0, ed hanno le ascisse :c = a db . /—^ Uno di questi viene però a coincidere con seliY 1 -\- m^ = a, ossia se m yw- ;^. Ora ad un siffatto valore di m non corrisponde nessuna retta se l
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 29 — problema generalmente no
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— espili ampia che chiameremo A^]
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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