Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 116 — 6) Date due punteggiate proiettive su rette distinte ti, u' di un piano, e data inoltre nel piano una retta .9, che non i)assi per uu', determinare due centri di proiezione S, S ' tali, die i fasci proiettanti quelle punteggiate rie- scano prospettivi coli' asse di prospettiva s. Il problema ammette infinite soluzioni, e precisamente esistono due rette, luoghi rispettivamente dei punti S, S', sulle quali i punti S, S' si corrispondono proiettivamente. Caso particolare che s sia 1' asse di proiettività delle m, u' ; caso che sia la retta all'infinito. Questione duale nel piano. II- ~ 7) Se ABC . . , A'B'C . . . . , sono due punteggiate simili, giacenti sopra due rette distinte m, u' di un piano, secantisi in un punto proprio 0, sussistono le seguenti proprietà : a) il luogo del vertice opposto ad nei pa- rallelogrammi costruiti sulle coppie di lati è una retta; b) il luogo del punto medio dei A, A' , oppure OB,OB' ... , segmenti AA', BB', . . . congiungenti punti omologhi, è una seconda retta, parallela alla precedente; e) se per si conducono i segmenti OA^, OBg. . . paralleli ed eguali (anche nel verso) ai segmenti AA', BB',...,i punti • • • ô, ô, stanno tutti sopra una terza retta; d) i cerchi circoscritti ai triangoli OAA', OBB', . , hanno in comune (oltre 0) un secondo punto S; e) i triangoli SAA', SBB' . . sono simili . tra loro; f) la punteggiata A'B'C . . . può esser por- tata in posizione prospettiva rispetto alla punteggiata 4 jBC, .. , purché il piano di quella si faccia ruotare intorno ad S di un angolo conveniente, mentre la retta u rimane fissa. 8) Se le punteggiate ABC..., A'B'C ..., sono uguali, sussistono le proprietà precedenti, ed inoltre il punto S si trova sulle perpendicolari ai segmenti AA', B B' , ... nei loro punti medi, per modo che la rotazione sopra nominata porta Tuna punteggiata a coincidere coli' altra. 9) Date due punteggiate simili ABC, ... , A'B'C . . , situate su due . rette di un piano, trovare due punti omologhi X, X' la cui distanza XX' sia uguale in valore assoluto ad un dato segmento; quante soluzioni può avere il problema ? come si costruiscono due punti omologhi delle due punteggiate, la distanza dei quali sia minima ? III. — 10) Le rette congiungenti punti corrispondenti di due punteggiate proiettive a sostegni sghembi formano un tal sistema, che ogni retta secante tre di quelle, sega tutte le altre ; (si proiettino infatti le due punteggiate da una delle dette secanti ; n." 66). Teorema duale nello spazio. 11) Le infinite rette che incontrano tre rette date, sghembe a due a due, determinano punteggiate proiettive su queste ; quelle adunque formano un sistema -S"' tale, che ogni retta secante tre rette dì 2', sega tutte le altre. Le rette secanti ora nominate formano alla lor volta un nuovo sistema 2 (a cui appartengono anche le rette date), il quale gode le stesse pro- prietà di H'. Due rette di uno stesso sistema sono sghembe tra loro, due rette di sistemi diversi si segano; ciascun sistema (e subordinatamente anche l' altro ) è determinato da tre delle sue rette. Due sistemi come 2 e 2' sono, ad es., quelli appartenenti ad un iperboloide rotondo ad una falda, di cui parla l'es. 15) del n.° 16). .
— 117 — 71. Elementi uniti di una proiettività tra forme sovrapposte. — Abbiamo già visto (n.° 66) che se due forme riferite proiettivamente sono sovrapposte, esse ammettono al più due elementi uniti, a meno che ogni altro elemento non sia unito. Ora, valen- doci del metodo analitico, determineremo i detti elementi uniti. Riferiamo perciò le due forme ad uno stesso sistema di coordinate proiettive; dette x, x' le coordinate di due elementi corrispondenti, la proiettività fra le due forme sarà rappre- sentata dalla equazione (i) ocxx' -\- ^x ^ yx' -{- ò — 0. Se indichiamo con y {x =: x' z=. y)^ dovrà essere la coordinata di un elomento unito (2) «y' + (/? + 7):y + ^ = 0, e quindi ,, ^ - (^ + y) ib y {l^^yY - 4«ó Possiamo dunque concludere (adottando il linûaffo-io del n.° 54): Una proiettività (non identica) fra due forine sovrapposte ha due elementi uniti, die possono essere reali e distinti, o reali e coincidenti, immaginari con iugati ; nel primo caso [ ( ^5 )- -f — ;/ 4 « ^ > ] la proiettività dicesi iperbolica, nel secondo [(/? -^ 7) - — 4«^ i^ 0] parabolica, e nel terzo [(/? -f yf _ 4«^ < q] ellittica. n. Esempi. Uguaglianza diretta sulla punteggiata nel fascio. — A due esempi notevoli, sotto l'aspetto metrico, di proiettività parabolica od ellittica si giunge mediante le con- siderazioni seguenti (^). a) Le due forme siano punteggiate sovrapposte, riferite ad un sistema di ascisse. Se l'equazione della proiettività si riduce al tipo (1') ^x -^ yx' -i- ò = le due punteggiate sono simili (n.° 64, b)), ed hanno come unito il punto all'infinito U^. Allora l'equazione (2), da cui dipen- dono i punti uniti, si abbassa a primo grado (2') (^ + y)y^ò = o, ( ) Di proiettività iperboliche si possono costruire esempi, assegnando ad arbitrio gli elemouti uniti (distinti fra loro) ed inoltre due elementi corrispondenti distinti.
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 501 — Indicando i tre denomin
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
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— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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