Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 156 — sono definirsi mediante una involuzione ellittica nel fascio Z; similmente MNo, MoN si segano in un punto reale Y, ecc. Caso particolare: iViV» siano i punti ciclici del piano. Casi particolari del problema duale : una tutte due le coppie si compongano di direzioni assolute uscenti da punti leali. 3) Date due involuzioni sopra uno stesso sostegno, determinare quella terza involuzione, i cui elementi doppi costituiscono la coppia comune alle due involuzioni date ; (della involuzione richiesta, che è unita per una certa proietti vita, si possono costruire linearmente quante coppie si vogliono). 4) Segnate in un piano due rette perpendicolari Ox, Oy, i due numeri (;omplessi coniugati a -{- bi, a ~~ bi si possono rappresentare in due modi diversi: sia, con Gauss, mediante due punti reali P e Q del piano, sia, seguendo Staudt, mediante quella involuzione ellittica sulla retta Ox, 1 cui punti doppi U, V hanno per ascisse quei numeri. Si dimostri ora che P e Q sono precisamente i due punti, dai quali la involuzione ellittica su Ox è proiettata mediante una involuzione circolare (n.° 89, es. 7) ) ; od an- che, i due rimanenti vertici del quadrilatero completo, di cui una coppia di vertici opposti sta in U, V, e l'altra nei punti ciclici del piano.
— 157 — Parte Seconda. Geometria analitica del piano. 96. Un sistema di coordinate per il piano punteggiato. — Vogliamo ora occuparci delle forme di seconda specie, e in particolare del piano punteggiato. Proponiamoci anzitutto di stabilire un sistema di coordinate atto a rappresentare i punti di un piano. Le considerazioni fatte sulle forme di prima specie ci suggeriscono subito una via. Fissiamo nel piano due punti S, S', centri di fasci di rette, in ciascuno dei quali stabiliremo un sistema di coordinate (ad es. proiettive). Allora, dato un punto P del piano, rimangono individuate le rette SP, S'F eó i numeri X, y che sono coordinate di quelle, entro ai fasci >S', yS", rispettivamente. Viceversa, conoscendo i due numeri X, y, avremo in corrispondenza due rette nei fasci 8^ 8' ed il punto P ove si incontrano. I due numeri a;, y possono dirsi coordinate di P. E tra la coppia di numeri (x, y) ed il punto P passa una corrispondenza biunivoca. Fanno solo eccezione: da un lato i punti 8^ 8\ per ciascuno dei quali una delle due coordinate è indeterminata; dall'altro lato quella coppia x', y' di coordinate che definiscono la retta 88', tanto nel fascio 8, quanto nel fascio 5", giacché il punto P rimane allora indeterminato sulla retta 88'. In breve, il sistema di coordinate ora nominato si presta a rappresentare tutto il piano punteggiato, fatta eccezione per i punti di una retta 88'. Scegliendo i punti >S', 8' all'infinito, e fissando nei relativi fasci impropri le coordinate x, y nel modo che ora esporremo, si perviene al sistema di coordinate cartesiane, che, per ragioni storiche, e sopratutto per i servigi che presta nelle matematiche pure ed applicate, ha la massima importanza.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 321 — e perchè noi supponiam
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 415 — dove p è una costante
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 463 — 12) n prodotto di due a
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- 470 — dove si suppone precisame
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— 472 — sistema di coordinate p
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568:
— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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