Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 252 — sia soddisfatta dalle coordinate di ciascuno dei punti ciclici, sono a — b -{- di = 0, a — 6 — di = 0^ donde a = b, d = 0-^ e queste sono le condizioni perchè quell' equazione rappresenti un cerchio (n.° 143). 156. Intei-sezione di due cerchi; asse radicale. — Datele equazioni di due cerchi ^' i a) + 2/' - 2a;r - 2^y ^ y =0, ^ ^ a:;2 _|_ ^2 _ ^ 2a'x — 2^'y -\- y' = 0, si osserverà che ogni soluzione (x, y) di queste soddisfa pure all' equazione (5) 2(a - a')x + 2(/? - ^')y - (y - y') = Q ottenuta dalle (4) mediante sottrazione; e viceversa, ogni soluzione comune ad una delle (4) e alla (5) è comune anche al- l' altra delle (4). Possiamo dunque risolvere, anziché il sistema (4), il sistema composto di una delle (4) e della (5). Ma questa rappresenta una retta ; concludiamo adunque che il problema di determinare le intersezioni di due cerchi equivale al problema di determinare le intersezioni di un cerchio con una retta, e porta, in sostanza, a risolvere una equazione di secondo grado ad una incognita, i cui coefficienti sono funzioni razio- nali dei coefficienti delle equazioni dei due cerchi. Ciò per- quanto riguarda le intersezioni cadenti in punti propri] giac- ché volendo determinare anche le intersezioni improprie, con- viene ridurre le (4) a forma omogenea. Allora, mediante sottrazione, si giunge ad una equazione di secondo grado spezzantesi nella (5), resa omogenea, e nella z = 0\ occorre dunque tener conto inoltre delle intersezioni di uno dei due cerchi colla retta all'infinito, cioè dei punti ciclici, che sappiamo già esser comuni ai due cerchi. Due cerchi hanno quattro punti comuni, di cui due cadono sempre nei punti ciclici, mentre gli altri due sono generalmente propri, e possono esser reali e di- stinti (cerchi secantisi), reali e coincidenti (cerchi tangenti), o immaginari coniugati (cerchi non secantisi). Anche gli ultimi due punti sono impropri e vanno a coincidere coi due primi, quando la retta (5) è impropria, cioè quando a = a' , ^ = /?', quando adunque i due cerchi sono concentrici.
— 253 — E facile caratterizzare geometricamente la retta (5). Se infatti cerchiamo il luogo dei punti (x, y) che hanno uguale potenza rispetto ai due cerchi (4), siamo condotti (n." 153) ad uguagliare i primi mem- bri delle due equazioni (4), e quindi perveniamo alla (5). Dunque : il luogo dei punti che hanno potenza uguale rispetto a due cerchi^ è una retta (detta asse radicale ), la quale contiene le due intersezioni generalmente proprie (reali o immaginarie) dei due cerchi. L'asse radicale è improprio solo quando i cerchi siano concentrici. Escluso questo caso, l'asse radicale è perpendicolare alla congiungente i centri dei cerchi, come risulta confrontando la (5) coli' equazione della detta congiungente X — a y — ^ a — a' ^ 7~:^^" 157. Condizione di ortogonalità di due cerchi. — Si chiama angolo di due cerchi (o di due curve) in un punto comune, l'angolo formato dalle due tangenti in quel punto. Se quest'angolo è retto, i due cerchi (o le due curve) si tagliano ortogonalmente. E facile stabilire la condizione affinchè i due cerchi (4) si taglino ortogonalmente, sia ricorrendo alle equazioni delle tangenti in un punto ad essi comune, sia notando che i raggi r, r' dei due cerchi passanti per il detto punto devono esser perpendicolari. Considerando il triangolo rettangolo che ha quei raggi come cateti, e come ipotenusa la distanza dei centri («, ^), («', /?'), si ha r^ + r'2 = (a - a'^ -f- (/? - /?')', ossia, ricordando che r^ =: a- -f- /J'^ — y,r'2 = «'^ _|- ^'2 _ y' (6) 2aa' -f 2/?/9' — (y -{- y') = 0, che è la condizione richiesta di ortogonalità. Il lettore potrà, seguendo una via analoga, determinare, in generale, l'angolo dei due cerchi (4).
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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- e\c -j- Q cos f) = —
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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