Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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piani P; riguardata sotto questo aspetto, la equazione (1), in
coordinate di piani, rappresenta una stella di piani, o, cóme
SI suol dire, il punto P, che ne è centro. Mentre un punto,
in coordinate puntuali, vien definito mediante un gruppo (di
tre o quattro) numeri, ed il piano è rappresentato da una equazione
lineare, accade, in coordinate di piani, che il piano venga
definito mediante un gruppo (di tre o quattro) numeri, ed il
punto mediante una equazione lineare (cfr. n° 128).
Appare cosi sin d'ora, anche nella trattazione analitica,
quella perfetta analogia, dualità, fra le relazioni grafiche di
punti e le relazioni grafiche di piani nello spazio, che le con-
siderazioni sintetiche ci avevano lasciato prevedere sin dal prin-
cipio del corso (n.° 6).
Sarebbe facile mettere in rilievo questa dualità analitica,
pur di riprendere in esame, coli' aiuto delle une e delle altre
coordinate, le principali relazioni grafiche fra punti, rette e piani
deHo spazio, imitando ciò che, in geometria piana, fu fatto al
ii.° 129. Ci limiteremo, per brevità, a poche osservazioni.
(2)
a) Si abbiano due equazioni lineari in coordinate di piani
( "^^ -{- bv -{- cw + dr = 0,
I
a'u -\- h'v
-f- c'w -f d'r z=. 0,
rappresentanti staccatamente due punti P(a, 5, e, d), P' (a' h'
c\ d'). Ogni gruppo di coordinate {u, v, w, r), che soddisfi' en-
trambe le equazioni (2), rappresenta un piano, che passa per i
punti P, P', e quindi per la retta PP'. In coordinate di piani,
una retta (riguardata come asse di un fascio di piani) vien
rappresentata da due equazioni lineari, le q_uali, separatamente
definiscono due punti della retta (cfr., per la considerazione duale
il n.° 289).
Una combinazione lineare delle equazioni (2),
^(au -f ... ) -L f^(a'u -]-...) = 0,
rappresenta un punto P"{Jia -|- ^a', U -f- ^ò', Xc + f,c',
M -\- f^d') della retta PP' ;
il rapporto -^ è la coordinata
proiettiva del punto stesso, rispetto ai punti fondamentali P', P
e rispetto al punto per cui ;i = (i).
f, Conviene enunciare, sótto
(') La dimostrazione di questo fatto si dà col procedimento seguito '
m geometna piana, nella nota a pie della pag. 211.