Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 30 — un punto dell'asse o (anche dal punto all'infinito di o), si deduce: « se un seilatero semplice è circoscritto ad un cerchio, le tre rette congiungenti le coppie di vertici opposti passano per uno stesso punto » (teorema di Brian- chon). 17) Se la stessa figura si sega con un piano contenente due rette della superfìcie (una del primo sistema e l'altra del secondo sistema), si ha: « se un esagono semplice ha i vertici di posto dispari sopra una retta e i vertici di posto pari sopra una seconda retta, 1 punti di incontro delle tre coppie di lati opposti appartengono ad una terza retta » (teorema di Pappo); mentre si ottiene il teorema duale nel piano se la stessa figura si proietta da un punto della superfìcie sopra un piano arbitrario. 18) Un corollario metrico del teorema di Pappo dice : « se in un tra- pezio, di cui AB e CU siano le basi, si congiungono i vertici A e C con un punto del lato BD, le parallele alle due congiungeuti condotte per D e B rispettivamente si segheranno sopra AC ». Ora questo corollario si dimostra facilmente coi mezzi della Geometria elementare ; se ne deduca il teorema generale di Pappo ricorrendo alla proiezione centrale. 19) Del teorema di Pappo e del suo duale si approfìtti per dare nuove soluzioni dei problemi indicati nel n" 16.
— 31 — Parte Prima. Forme di prima specie. Capitolo I. Sistemi di coordinate sulle forme di prima specie. 17. I due versi sopra una forma di prima specie. — Vogliamo ora occuparci in particolare delle forme di prima specie (punteggiata, fascio di rette e fascio di piani). Stabiliremo anzitutto alcune nozioni proiettive sulle dette forme, nozioni le quali dovranno valere indifferentemente per la punteggiata e per i fasci (n.*' 10). Poi passeremo ad introdurre i concetti di misura, ed allora saremo costretti a distinguere le varie forme tra loro. Una osservazione immediata mostra che sopra una forma di prima specie un elemento può muoversi in due sensi o versi distinti, V uno opposto all' altro. Di questi versi uno a nostro arbitrio si chiamerà positivo e si designerà ad es. con una freccia, l'altro si chiamerà negativo. Immaginiamo ora un elemento mobile il quale parta da una posizione iniziale e si muova sulla forma in un determinato verso, per es. in verso positivo; quell'elemento descriverà tutta la forma e ritornerà in fine alla posizione iniziale? Questo fatto certamente si veri- fica nel fascio proprio di rette (o di piani), dove la rotazione di un mezzo giro dell'elemento mobile intorno al centro (od asse) del fascio, basta per descrivere tutta la forma. Invece sulla punteggiata propria, secondo il concetto che ci formiamo comunemente di movimento, dobbiamo concludere che un elemento, il quale parta da una posizione fissa e si muova sempre nello stesso verso, va allontanandosi all'infinito in quel verso, e descrive così solo una metà della forma. Ora se noi vogliamo introdurre nella Geometria proiettiva le nozioni di verso, di movimento . . . , dobbiamo cercare di assimilare tra loro, anche sotto questo rapporto, le varie forme di prima specie, stabi-
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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