Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 300 — Una omologia non speciale è determinata e può costruirsi, quando sia dato il centro, Tasse e la caratteristica. 181. Omologia involutoria. — È notevole quella particolare omologia che ha la caratteristica — 1 ; in essa due punti omologhi qualisivogliano A^ A' sono separati armonicamente dal centro e dall'asse di omologia; e le coppie di punti omologhi appar- tenenti ad una retta uscente dal centro formano una involuzione. I due punti A, A' si corrispondono in doppio modo o involutoriamente] vale a dire, agli elementi J., A' considerati in uno dei due piani tt, n' legati dall'omologia, corrispondono nell'altro piano gli elementi A' ed A. Perciò questa omologia si suol chiamare involutoria (o armonica)'^ ed è chiaro, inversamente, che una omologia dotata della proprietà involutoria ha la caratteristica — 1. Ma è notevole il fatto che le omologie armoniche sono le sole collineazioni involutorie fra due piani sovrapposti (coUinea- zioni non identiche, in cui gli elementi si corrispondono in doppio modo; od anche, collineazioni K coincidenti colle loro inverse, K = -ET ~ ^ ; collineazioni il cui quadrato è l' identità, K'^ = 1 ; cfr. n.° 79). Se infatti a due punti distinti A^ A' ài un piano n corrispondono, nel piano collineare sovrapposto jt', i punti A' ed J., la retta A A' corrisponde ad A' A^ ed è quindi unita. Ma in tal caso la collineazione possiede infinite rette unite (con- giungenti punti corrispondenti), ed è una omologia (n.° 178) involutoria. Una collineazione fra due piani sovrapposti è involutoria (e quindi omologica)^ se possiede due coppie di punti i quali si cor- rispondano in doppio modo, e costituiscano un quadrangolo. Se infatti una collineazione K muta i punti A, A', B,B' in A', A, B ',5, la collineazione K^ ha come uniti i quattro punti nominati, e quindi è una identità. Segue, ad es., che se una collineazione fra due piani sovrapposti subordina una involuzione sopra ciascuna di due rette unite distinte, essa è una omologia involutoria col centro nella intersezione delle due rette. 182. Proprietà e particolarità metriche di una omologia. — Alla retta all'infinito di due piani ti, n' sovrapposti, legati da una omologia, corrispondono rispettivamente in ti' e ti due rette
i — 301 — *' ed j, generalmente proprie, dette rette limite dei rispettivi piani; queste sono parallele all'asse (n.** 179). Inoltre, poiché nella proiettività che la omologia subordina sopra una retta qualsiasi uscente dal centro >S, i punti uniti stanno in 8 e sopra w, mentre i punti limite appartengono ad^" ed «', segue (n.° 73, ò)) la seconda parte del teorema: In una omologia le rette limite sono parallele all'asse; e la retta che biseca la striscia compresa fra quelle^ dista ugualmente (in versi opposti) dal centro e dall'asse. Le rette limite sono improprie se la retta all'infinito è unita; e ciò può accadere: a) quando la retta all'infinito è asse di omologia; h) quando il centro di omologia è improprio; e) quando le due particolarità si presentano insieme. Esaminiamo staccatamente queste ipotesi. a) Se l'asse di omologia è improprio, rette corrispondenti sono parallele, ed angoli corrispondenti sono uguali; i due piani jt, ti' sono simili (n.° 174), ma, per mettere in luce il parallelismo ac- cennato, si suol dire che sono simili e siìnilmente posti, od omotetici. Se /S* è il centro (supposto proprio) di omologia, o di omotetia, ed A, A'] B, B'; . . . sono coppie di punti corrispondenti, si ha >S'^ 8B .... -77-77- = -?7^T = . . . = ISA !SB caratteristica. Questo rapporto costante si chiama rapporto di omotetia, e la omotetia è diretta od inversa, secondo che il rapporto è positivo o negativo. Il rapporto tra le aree di figure corrispondenti (come sono ad es. i triangoli 8AB, 8A'B') è il quadrato del rapporto di omotetia. Preso 8 come origine di un sistema di coordinate cartesiane non omogenee, e dette {x, y), (x', y') le coordinate di due punti corrispondenti, la omotetia è rap- presentata dalle equazioni x' = mx, y' = my, dove — è il rapporto di omotetia. Se il rapporto vale — 1, la omotetia è involutoria, e si riduce alla simmetria rispetto ad un centro 8] figure corri
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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