Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 396 — 57) Nella rete stessa esistono infinite iperboli equilatere formanti un fascio, che ha per punti base i centri dei cerchi iscritto ed ex -iscritti nel triangolo primitivo ; segue che « i centri dei cerchi iscritto ed ex - iscritti in un triangolo autopolare di una iperbole equilatera stanno sulla curva ». Capitolo III. Proprietà diametrali. 232. Diametri di una conica. — Dalle proprietà proiettive delle coniche che abbiamo studiato sinora, possiamo dedurre facilmente proprietà metriche, attribuendo agli elementi delle p^ nostre figure relazioni speciali colla retta all'infinito. Applichiamo questa considerazione alla teoria della polarità. Scelto nel piano di una conica un punto al- l'infinito Pan, la polare jp di esso rispetto alla curva conterrà tutti i punti medi delle corde LL', MM\ NN' ,... appartenenti alle rette parallele uscenti da P^, e segherà la curva (ove la incontri) nei punti IT, V dì contatto delle tangenti condotte da P^. Dunque: I punti medi delle corde di una conica a- venti una stessa direzione stanno sopra una retta; questa dicesi diametro della conica, e precisamente diametro coniugato con ciascuna di quelle corde, d'ac- cordo col n.° 205. La costruzione di un diametro risulta sen- z'altro dalla definizione.
— 397 — Partendo dall' equazione della curva in coordinate cartesiane omogenee (1) f(x, ìj, z) = anX^ -\- a^.y^ -f a^^z^^ -j- 2a^^xy -{- 2ai:fXZ -]- 2aì3yz = 0, ossia, in coordinate cartesiane ordinarie, (!') anX- + 2a^^xy -|- a.,.,y'^ + la.^x + ^a^^^y -[- «33 m 0, e dette (w, w, 0) le coordinate di P^^, punto all'infinito della retta (2) _^ = ^ y n e delle parallele (n.'' 124), l'equazione del diametro coniugato con queste è (n.^ 201) ossia .(^, y, (3) (ttnx -\^ a^y -\- ai3z)m -}- (aoiX -\- a^-^y -^ a.3z)n = 0. Per enunciare il risultato, si osservi che, in coordinate cartesiane ordinarie (cioè per z ^ 1), i diametri coniugati colVasse x (m =»= 0, n = 0), colVasse y (m = 0, n =1- 0), hanno rispet- tivamente le equazioni ^ ' dnX + «122/ + «13 == 0, \ a^ix -\- a..y -j- «,,3 = 0, ottenute annullando le semiderivate parziali, rispetto ad ^ e rispetto ad y, del primo membro dell'equazione della conica; mentre l'equazione di ogni altro diametro è una combinazione lineare di quelle due. 233. Centro. — Dall'ultima osservazione risulta che e:li infiniti diametri formano un fascio ; ed anzi, notando che i loro poli appartengono alla retta all'infinito, si conclude: tutti i diametri di una conica passano per uno stesso punto, che è il polo della retta all'infinito. Questo punto C è improprio per la parabola che tocca la retta all'infinito, e coincide col punto di contatto; i diametri di mia parabola sono tutti paralleli tra loro. H punto C è invece proprio per la ellisse e per la iperbole, interno alla prima curva, esterno alla seconda (n.** 204). Ogni retta condotta per C sega una di queste due curve in due
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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