Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

— 99 —
cedente prova di più, che il prodotto di due proiettività è ancora una jyroiet-
tività. Questo teorema, equivalente al primitivo, può d'altronde estendersi,
insieme alla definizione di prodotto, al caso di più proiettività.
Come esempio, si osservi che il prodotto di una proiettività P per la
sua inversa J* ~" ^ è una proiettività, che fa corrispondere ad ogni elemento
della forma primitiva l'elemento stesso. Questa proiettività si chiama identità,
e talvolta si indica con 1 ; sicché si scrive P • P~ ^=. 1.
62. Teorema fondamentale. — Fissati tre eletnenti arbitrari
sopra una forma di prima specie, e tre elementi pure arbitrari
sopra una seconda forma della stessa specie, esiste una ed una sola
corrispondenza proiettiva fra le due forme, per la quale ai primi
tre elementi nominati corrispondono ordinatamente gli ultimi tre.
Infatti, detti A, B, C ì tre elementi delle prima forma
ed A', B' C ì tre elementi della seconda, se ad ogni elemento X
della prima forma facciamo corrispondere quelF elemento X'
della seconda per cui
{ABCX) = (A'B'C'X'),
noi veniamo a stabilire una proiettività jP tra le due forme,
la quale muta A, B, C in A', B' , C (n.° 57, e)). D'altra parte,
se una proiettività soddisfa alle condizioni dell'enunciato, essa
deve mutare V elemento X nell" elemento X ', e quindi non
può differire dalla JP. La proiettività jP si suole indicare tal-
volta con
A B C
yA'B'C,
63. Equazione della proiettività. - Quando su ciascuna
di due forme riferite proiettivamente, è fissato un sistema di
coordinate proiettive (o casi particolari), la relazione geome-
trica che passa fra due elementi corrispondenti X, X', si tra-
duce in una relazione analitica fra le coordinate x, x' degli
elementi stessi. Per procurarcela supponiamo determinata la
proiettività col dare tre elementi A, B, C della prima forma,
aventi le coordinate a, 6, e, ai quali debbano corrispondere,
sulla seconda forma, gli elementi A', B\ C di coordinate a',
6', e'. La relazione geometrica che definisce la proiettività
(ABCX) = (A'B'C'X'),
si traduce nella relazione algebrica
a — e a — X a' — e' a' — x'
b — e ' b — x ~ b' — e' ' b' —~x''