Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 412 — Gli asintoti della iperbole (III) hanno la equazione com- plessiva (n.° 234) X' - r_ - e quindi le equazioni se- parate a ' b ' 0. 11 secondo di essi passa per i vertici (a, 6), ( — a, — b) del parallelogramma che ha per mediane A A', BE'; mentre il primo passa per gli altri due vertici (— a, b), (a, — ò). E poiché questa osservazione vale qualunque sia l'angolo xy, si conclude : Gh asintoti di una iperbole sono le diagonali di ogni parallelogramma avente come mediane {in grandezza e posizione) due diametri coniugati^ uno trasverso, l'altro non trasverso. Resterebbe ora da discutere la ipotesi IV: m < 0, n > 0; ma questa evidentemente conduce ad una iperbole avente come asse (o diametro) trasverso la retta y, e come asse (o diametro) non trasverso la retta ,x, e non dà quindi nulla di nuovo. 243. Iperbole equilatera. — Un caso particolare noteVole d'iperbole si presenta quando gli asintoti sono perpendicolari tra loro; la iperbole si dice allora equilatera. L'ultimo teorema del n.° precedente ci dice che, in tale ipotesi, il parallelogramma avente per mediane due diametri coniugati (o i due assi) è equilatero {a = 6), perchè le diagonali sono perpendicolari. Segue dunque che in una iperbole equilatera ogni diametro è uguale al coniugato] e inoltre che la equazione di una iperbole equilatera riferita ai due assi, o a due diametri coniugati, si presenta sotto la forma x^ — 2/^ = «^• Si riconosce poi facilmente che gli asintoti di una iperbole equilatera bisecano gli angoli formati dalle coppie di diametri coniugati (n.° 235).
— 413 — 244. Alcune formole relative all'equazione normale di una conica a centro. — Giova ricordare alcune formole relative ad una conica, nel caso che questa sia rappresentata mediante l'e- quazione normale. L'equazione w ^, __ ^2 — ^ rappresenta una ellisse, od una iperbole riferita agli assi ióc^y = ^-\ secondo che si prende il segno superiore, o l'inferiore. Mantenendo la stessa convenzione per le formule seguenti, noteremo che la tangente alla curva nel punto {x', y') ha l'equazione (n.° 198) (2) î- ± j^:- - 1 la quale rappresenta pure la polare di un punto {x', y') qualsiasi del piano. La normale alla curva in {x\ y'), cioè la perpendicolare alla tangente nel punto di contatto, è rappresentata dall'equazione (3) ^'(^- ^') ^ + b^y - y') _ yr ' e questa rappresenta pure la perpendicolare condotta da un punto qualsiasi (x', y') alla propria polare. L'equazione tangenziale della (1) si riconosce essere (n." 203) (4) aû^ ± èî;2 — 1^ o in coordinate omogenee di rette (4') aû' ± b^v^ = w;2. Questa è dunque la condizione affinchè la retta ux -\- vy -|- ty = tocchi la (1). Ora, ricavando dalla (4:') w mediante u, v, e so- stituendo nell'equazione della retta, risulta che l'equazione car- tesiana di una tangente alla conica (1) può porsi sotto la forma (5) ux + vy = V~aû^ + b^ v^ -, al radicale si intende premesso il doppio segno, qualunque sia la conica. Le quantità m, v sono costanti arbitrarie; se si consi- derano come date, la (5) (col doppio segno premesso al radicale) rappresenta le due tangenti alla (1) parallele alla retta ux -\- vy = 0.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 137 — la involuzione appartie
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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I — 277 — 7t^ n\ proiettando i
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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— 289 — * Osservazione II. —
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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