Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 624 — piani; se finalmente si annullano tutti i minori del secondo ordine^ la quadrica si riduce ad un piano doppio. E viceversa, perchè i ragionamenti, che precedono, sono tutti invertibili. Il cono^ la coppia di piani ed il piano doppio costituiscono i tre successivi casi di degenerazione di una superficie (luogo di punti) di secondo ordine. 358. Talvolta il semplice aspetto dell'equazione di una quadrica lascia vedere che la superfìcie è un cono. Cosi, ad es., una equazione di secondo grado, omogenea, in coordinate car- tesiane ordinarie (a?, y, z) : anx^ -\- a.22y^ -{~ a^^z^ -j- 2ai20cy -j- 2aisxz -\- 'ìa^^yz = rappresenta un cono avente il vertice nell'origine (n.° 318). E la equazione ottenuta dalla precedente, col sostituire X — Xo^ y — Voì 2 — Zo Sii posto di ic, y, z^ rappresenta un cono di vertice (xq^ yo, ^o), avente la stessa conica all'infinito del cono suddetto. 359. Polarità rispetto ad un cono. — Rispetto ad un cono f{x, y, z, t) = 0, di vertice V(xo, yo, zq ^o), ogni punto P'{x'^ y\ z\ t') dello spazio, distinto da F, ha ancora un determinato piano polare n\ che si definisce nel solito modo (n.*' 351), ed ha l'equazione ^ fix, y, z, t \ _ l\x\y\z',t'ì — ''' Questo piano passa sempre per il punto V (giacche l'equazione è soddisfatta dalle coordinate di 7), e contiene le infinite rette coniugate armoniche di YP' rispetto alle coppie di rette, secondo cui il cono è segato dai piani passanti per VP'. Mentre il polo P' descrive una retta p' uscente da F, il piano polare n' non varia, al contrario di ciò che accade per una quadrica generale; il piano polare del vertice Y è inde- terminato, perchè la precedente equazione è identicamente soddisfatta, quando si ponga x' = x^^,. . .^ t' =^ to. Viceversa, un piano qualsiasi, non passante per Y, ha sempre come polo il punto Y. Invece un piano n' passante per Y ha infiniti poli situati sopra una retta p' uscente da Y. La polarità degenere, determinata da un cono, viene adunque a stabilire una corrispondenza biunivoca tra le rette
— 625 — p' ed ì piani n' della stella V. Ed è facile persuadersi che tale corrispondenza è una polarità nella stella F, di cui si è dato un cenno nelle prime righe del n.° 190; è precisamente quella polarità, che si ottiene, proiettando da V la polarità piana definita da una conica, sezione del cono con un piano non passante per Y. Ogni piano passante per V sega il cono lungo due generatrici (reali o immaginarie) ; se le due generatrici coinci- dono, il che accade quando il piano passa per una tangente della conica sopra nominata, il piano è tangente al cono lungo tutta quella generatrice (n." 345). Dunque : il piano tangente ad un cono in un punto, diverso dal vertice, passa per il vertice, e tocca il cono lungo tutta la generatrice contenente il punto assegnato. Nel vertice non v'è un piano tangente determinato. Per una retta generica p ', uscente dal vertice di un cono, passano due piani (reali od immaginari) tangenti al cono ; le generatrici di contatto appartengono al piano n ', polare di p'. Due piani per p', che dividano armonicamente quei piani tangenti, sono coniugati rispetto al cono, e formano con ti' un triedro autopolare rispetto al cono, tale cioè che ciascuno spi- golo ha per piano polare la faccia opposta. Esistono infiniti triedri siffatti; essi si ottengono, proiettando dal vertice V i triangoli autopolari rispetto ad una sezione piana del cono. 360. Inviluppi di seconda classe degeneri. — Una equazione di secondo grado in coordinate di piani, F{u, v, w, r) = 0, rappresenta, quando il discriminante del polinomio F sia nullo, l'ente duale di un cono, di cui si è parlato nella Oss. al n.° 355. Mentre un cono (riguardato come luogo di punti) si compone di infinite punteggiate, i cui sostegni hanno un punto (vertice) in comune, l'inviluppo duale si compone di infiniti fasci di piani, i cui assi stanno in un medesimo piano, e toc- cano in questo piano una conica (cfr. n.° 329). Un siffatto inviluppo degenere, costituito dagli infiniti piani che passano per le infinite tangenti ad una conica, fu detto (da Hesse, 1861) quadrica limite, alludendo al fatto che l' inviluppo dei piani tangenti ad una quadrica degenererebbe a quel modo, se la quadrica si schiacciasse, in guisa da ricoprire due volte la regione piana interna, od esterna, ad una conica. 40
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 121 — proiettività parabolic
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— 125 — Se nella proiettività
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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Le infinite coniche circo- scritte
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
Page 525 and 526:
(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
Page 531 and 532:
— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536:
— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574:
— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
Page 591 and 592: — 573 — Se il vertice coincide
Page 593 and 594: — ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596: — 577 — essi (n.° 312). Tra gl
Page 597 and 598: — 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600: — 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602: -^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604: — 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606: — 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608: — 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610: — 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612: ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614: — 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616: — 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618: — 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620: — 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622: — 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624: — 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626: — 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628: — 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652: — 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656: — 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658: — 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660: — 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662: — 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664: — 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666: — 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668: — 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670: — 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672: — 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674: — 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676: — 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678: — 659 — Concludiamo che una qua
Page 679 and 680: — 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682: k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684: — 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686: — 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688: — 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690: — 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692: — 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
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— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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