Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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si ricava di qua, e dall' es. 38) del n." 2:31. che « in un triangolo i piedi delle
altezze, i punti medi dei lati, ed i punti medi dei segmenti compresi fra
i vertici e F ortocentro, appartengono ad uno stesso cerchio » detto cerchio
dei nove punti, o cerchio di Feuerbach.
16) Segue pure che il luogo dei centri delle iperboli equilatere aventi
un dato triangolo come autopolare (n.» 231, es. 57)), è il cerchio circoscritto
al triangolo; ossia: « il cerchio circoscritto ad un triangolo autopolare
rispetto ad una iperbole equilatera passa per il centro della curva ». (Brianchon
e Poncelet).
17) La conica dei nove punti è una iperbole equilatera, se fra le
coniche del fascio vi è un cerchio, e viceversa.
18) Se tra le coniche di un fascio vi è un cerchio, gli assi di quelle
hanno direzioni costanti (De la Hire e Huygens), e sono paralleli alle biset-
trici delle coppie di lati opposti del quadrangolo base (Poncelet) ed agli
asintoti della iperbole equilatera dell' es. 17)
19) Segue una costruzione delle direzioni degli assi di una conica
determinata da cinque punti ; si conduca infatti un cerchio per tre di essi
e si determini (n.° 231, es. 28)) la quarta intersezione del cerchio colla
conica, ecc.
20) I cerchi passanti per due punti fissi di una conica, segano ulteriormente
la curva in due punti, la cui congiungente ha una direzione costante,
che si costruisce subito quando siano noti gli assi.
21) Segue che i cerchi bitangenti ad una conica hanno i centri sopra
l'uno o l'altro degli assi; e se un cerchio ha un contatto quadripunto colla
curva, il punto di contatto cade in un vertice.
22) Segue ancora che se un cerchio oscula una conica in un punto P,
e la sega ulteriormente in Q, la tangente in P e la retta PQ formano
angoli uguali, ma opposti, con ciascun asse. E di qua si deduce una costru-
zione del cerchio osculatore ad una conica in un dato punto. La costruzione
cade in difetto soltanto se P sta in un vertice, e quindi il cerchio ha un
contatto quadripunto; questo caso sarà trattato in seguito.
23) Se PP'P" è un triangolo iscritto in una ellisse, avente i lati
paralleli alle tangenti nei vertici opposti (es. 12)), i cerchi osculatori in
P, P', P" passano per uno stesso punto Q della curva, che appartiene
pure al cerchio PP'P". E poiché il ragionamento può invertirsi, si conclude:
« Per un punto di una ellisse passano tre cerchi che osculano altrove la
curva; i tre punti di osculazione stanno in un cerchio col punto primitivo,
e formano un triangolo che ha per baricentro il centro della curva »
(Steiner). Per la iperbole, o parabola, dei tre punti di osculazione due sono
immaginari, o cadono nel centro all'infinito della curva.
24) Il luogo dei centri delle iperboli equilatere iscritte in un triangolo
è il cerchio rispetto a cui è autopolare il triangolo ( Seydewitz ). (Infatti la
costruzione dell' es. 10) del n.° 231, applicata ad una iperbole di cui siano
date tre tangenti ed i due punti impropri in direzioni ortogonali, fa vedere
che i centri delle quattro soluzioni appartengono ad un cerchio; ecc.)