Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 282 — siano P, P' due punti corrispondenti arbitrari dei due piani. Posto ad es. che P non appartenga al lato AB, sussisteranno (n.*' 167) le proiettività tra fasci a) A{BCDP) A A'{B'C'D'P'\ P) B(ACDP) A B'Ia'C'D'P'), le quali, dato P, individuano le rette A'P', B'P', e quindi il punto P' in Ti'. Non possono dunque esistere due diverse col- lineazioni soddisfacenti alle condizioni imposte. 2) Astraendo ora dalla ipotesi che esista la coUineazione, si osservi che sempre le a) e ^) fissano una corrispondenza biunivoca tra i piani n, n' descritti dai punti P, P', corrispondenza che muta i punti A, P, C, D nei punti A', B\ C, !>', ed ogni punto P, fuori di AB, in un punto P', fuori di A'B' (e viceversa). Fanno, tutto al più, eccezione i punti generici di AB ed A' B', giacché le a), /?) non determinano veramente una corrispondenza biunivoca tra queste due punteggiate; ma una tale eccezione verrà tolta tra poco. La corrispondenza biunivoca fra ti, ji' è tale, che se il punto P descrive una retta r in ji, il punto P' descrive pure una retta r' in n'. Ciò è evidente se r passa per A o per B, ed è ad es. la AP, giacche ad essa corrisponde la retta A'P' in n'. Nella ipotesi opposta, si noti che, mentre P descrive la punteg- giata r, le rette AP, BP generano due fasci proiettivi (anzi prospettivi) A(BP...) 7^ B{AP...).
i — 283 — Ma allora applicando ai due fasci, rispettivamente, le proiettività a), /?), risultano proiettivi in ti' ì due fasci A'(B'F' ...) A B'{A'P' ...), anzi prospettivi perchè hanno unita la retta A'B'-^ quindi il luogo del punto P' è una retta r', che corrisponde alla retta r di TT. Ed ora siamo in grado di completare la corrispondenza biunivoca tra i due piani punteggiati jt, tc', facendo vedere come di ogni punto Q di AB, si possa assegnare il punto corrispondente Q' di A'B'. Condotte infatti per Q più rette r, s . . . in n, e dette /*', s' . . . le rette corrispondenti in tt', si osservi che queste passano per uno stesso punto Q' di A'B'\ giacche, se ad es. il punto r's' non cadesse su A'B', il punto corrispondente Q ^: rs non cadrebbe su AB, contro la ipotesi. Con ciò risulta dimostrato che la corrispondenza stabilita fra i due piani ji, n' mediante le «) e /5), possiede tutti i carat- teri della collineazione. E si ha pure il modo per costruire effettivamente una collineazione tra n, n', quando si conoscano due quadrangoli corrispondenti. Costruzioni analoghe, a cui si arriva con semplici cambia- menti dei nomi degli elementi e delle forme, si applicano agli altri casi di proiettività tra forme di seconda specie. * Osservazione. — Ricorrendo alle coordinate proiettive, si può dimostrare la parte 2) del teorema precedente con una considerazione immediata. Si stabiliscano infatti nei piani 7i,n' due sistemi di coordinate proiettive {x, y, z) e, {x', y', z'^, assumendo ABC & A'B'C come triangoli fondamentali, D e D' come punti unità. Allora le relazioni (o x' : y' : z' = x : y : z, che è lo stesso, data l'omoge- neità) rappresentano effettivamente una collineazione (n.° 164) tra TT e tt', che muta il quadrangolo AB CD nel quadrangolo A'B' CD'. Ed è questa, per ciò che dicemmo, l'unica collineazione soddisfacente allo scopo. * 169. Una nuova interpretazione del teorema fondamentale. — Val la pena di indicare come il teorema fondamentale permetta di caratterizzare, in un modo notevole^ il sistema delle coordinate proiettive. Proponiamoci la seguente questione: fra
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 29 — problema generalmente no
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 141 — La involuzione circolar
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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- e\c -j- Q cos f) = —
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 457 — il piano di K' intorno
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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