Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 306 •- mere il triangolo unito come fondamentale, quando si voglia far uso di coordinate reali per rappresentare punti reali. Ma si può ad es. assumere il sistema di coordinate in guisa, che i tre punti uniti Z7i, Z72, Ili abbiano rispettivamente le coordinate (0, 0, 1), (i, 1, 0), (— i, 1, 0), (per modo che Z7, sia un punto fondamentale, ed u\ una retta fondamentale); si dimostra che, con questa scelta, le equazioni della collineazione assumono la forma (/?) Qx' = ax — ò?/, gy' =: hx -\- ay^ qz' = cz (dove a, ò, e sono tre costanti reali, di cui le due ultime almeno diverse da zero). 3) Delle tre radici ()j, q^^ q^, due sono reali e coincidenti Q^ = ^2j la rimanente q^ è reale e distinta da queste; allora dei tre punti uniti (certo reali) due coincidono in Uj = U2, mentre Ug è distinto da questi, e delle tre rette unite due ui = U2U35 ^2 = ^1^3 coincidono, mentre V altra Ug è distinta da queste e passa per i punti uniti coincidenti. Scelto in U^ il punto fondamentale (1, 0, 0), in Zìi ^ U2 il punto (0, 0, 1), e in un punto arbitrario di ua il terzo punto fondamentale (0, 1, 0) di un sistema di coordinate proiettive^ le equazioni della collineazione si presentano sotto la forma (y) Qx' = ax, Qy' == hy, qz' =z cy -{- bz (dove «, 6, e sono tre costanti reali, non nulle, di cui le due prime si suppongono distinte fra loro). 4) Le tre radici qi, q2, Q3 sono reali e coincidenti; allora i tre punti uniti coincidono in un punto reale Ui = U2 ^ U3, e le tre rette unite coincidono in una retta reale Ui ^ U2 ^ Ug passante per runico punto unito. e Scelto l'unico punto unito come punto fondamentale (0, 0, 1) l' unica retta unita come retta fondamentale a:; = 0, le equazioni della collineazione assumono la forma (ò) Qx' = ax, Qy' = hx -\- ay, qz' = ex -\- dy -{- az, (dove a, h, e, d sono quattro costanti reali, di cui a, 6, d almeno sono diverse da zero). 5) Può anche succedere che una radice della equazione (3), ad es. ^,, annulli tutti i minori del secondo ordine del determi- nante (3), nel qual caso q^ è radice almeno doppia (e quindi
i — 307 — reale), q^ = q^, giacché essa annulla pure la prima derivata del polinomio (3) (la quale è data dalla somma dei comple- menti algebrici relativi agli elementi della diagonale princi- pale). Sostituendo Qi al posto di q nelle (2), due di quelle equazioni divengono conseguenza della rimanente, di guisa che ogni sistema di valori (x, y, z) soddisfacente questa, soddisfa certo le altre due, e fornisce quindi un punto unito. Esistono adunque infiniti punti uniti appartenenti ad una retta^ rappre- sentata da quella equazione. E dualmente esistono (come risulta sostituendo g^ al posto di q nelle (2')) infinite rette unite appartenenti ad un fascio. Il centro del fascio è pure un punto unito, che si riconosce corrispondere alla terza radice ^g, pure reale, della equazione (3). In questo caso adunque la collineazione è una etnologia (n.^ 178), e precisamente una omologia generale (col centro fuori dell'asse) se q^ =t= ()j, speciale se q^ = q^ = ^.,. Assumendo il centro di omologia come punto (0, 0, 1) di un sistema di coordinate proiettive, e ricordando che le rette uscenti da esso sono unite, e quindi, in particolare, alle rette a; rr=: 0, «/ = 0, a; -f- y = del primo piano corrispondono le rette x' = 0, y' = 0, x' -\- y' z=z del secondo piano, si trova che le equazioni della omologia sono del tipo Qx' =
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 376 — gente ad una iperbole c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 492 — 6) Retta generica del f
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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