Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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nità equivalenti si dividono in due famij^lie : affinità dirette^ che subordinano
sulla parabola proiettività paraboliche aventi l'unico punto unito ali" infinito,
e affinità inverse, che sono simmetrie oblique rispetto ai singoli diametri
della parabola; (cfr. es. 11)).
III. — 19) Data una conica a centro, esistono infinite coniche omote-
tiche e concentriche con quella; esse appartengono ad un fascio-schiera
(n.° 231, Oss.) di coniche bitangenti nei punti all'infinito (^). Supposta nota
l'equazione normale della prima conica, come si scrivono le equazioni delle
coniche omotetiche e concentriche ?
20) Un fascio-schiera, che ha proprietà analoghe, è pure costituito
dalle parabole aventi un contatto quadripunto (n.° 226) nel loro punto
comune all'infinito. Queste parabole hanno lo stesso asse, e sono uguali
tra loro ; due di esse, prese ad arbitrio, possono sovrapporsi mediante una
traslazione parallela all'asse comune.
21) Una trasversale qualsiasi intercetta entro le coniche degli es. 19)
e 20) corde aventi lo stesso punto medio ; in altre parole : se una retta sega
una di quelle coniche in M, M', e una seconda conica in N, N', si ha
MN = -- M'N'; e se la retta tocca la seconda conica, il punto di contatto
è medio per la corda MM'.
22) I poli di una retta rispetto alle infinite coniche degli es. 19) e 20)
stanno sopra una retta, che è il diameti'O coniugato colla direzione della
retta primitiva rispetto a ciascuna di quelle curve (n,° 231, es. 41)). Che cosa
formano le polari di un punto rispetto alle coniche stesse ?
23) Ogni affinità che trasformi una conica a centro in sé stessa, tras-
forma pure in sé ogni conica omotetica e concentrica con quella; (si
confrontino infatti i diametri sovrapposti delle due coniche ; oppure analiticamente).
Segue che l'area del segmento compreso fra una conica K ed una
tangente ad una seconda conica K', omotetica, concentrica ed interna alla
prima, non varia al variare della tangente. Le stesse proprietà sussistono
per le parabole aventi un contatto quadripunto all' infinito, purché dopo la
parola affinità si aggiunga equivalente (es. 18) ).
24) Date due coniche omotetiche e concentriche K, K' (o due parabole
aventi un contatto quadripunto all'infinito), di cui una, ad es. la prima,
conterrà nel suo interno la seconda, e scelto su K un punto Pj qualsiasi,
si conduca da Pi una tangente a iC', la quale incontri nuovamente Kin P2;
])oi da P2 si conduca la ulteriore tangente P2 P3 a K',e così si prosegua.
Si otterrà una spezzata PiP^Fs. .
. iscritta in K e circoscritta & K' Vale
.
ora la proprietà, che la tangente a K in un vertice Pi della spezzata é
(1) Se la conica primitiva è una iperbole {sy = fc). il fascio-schiera contiene, oltre
alle iperboli omotetiche con quella {xy = le', dove *:' è un numero arbitrario che ha il
segno (U t), una seconda famiglia di iperboli {xy = —*:') omotetiche tra loro, ma non
eolle precedenti; le iperboli delle due famiglie sono, per dir cosi, separate dagli asintoti.
Varie proprietà contenute negli es. 20) e seguenti si estendono anche alle curve di
questa seconda famiglia.