Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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sostituito con una delle due ipotesi a cui si perviene negandolo (ipotesi
di LoBATSCHEFSKiJ, o della geometria iperbolici, la quale afferma che per
un punto e sopra un piano si possono condurre inlìnite rette non secanti
una retta del piano ; ipotesi di Riema.nn, o della geometria ellittica, secondo
la quale due rette di un piano si incontrano sempre). Si dovranno veramente
modificare in consegnenza le convenzioni con cui gli elementi impro-
pri furono introdotti (convenzioni che anzi non occorrono nella ipotesi di
Riemann), ma sempre si potrà procedere in modo da far sì che valgano
le proposizioni sopra le quali la Geometria proiettiva è fondata.
5. Proposizioni fondamentali relative all' appartenersi
degli elementi. — La opportunità delle convenzioni fatte per
introdurre gli elementi impropri, apparirà chiaramente quando
si osservi che le numerose proposizioni di geometria elementare
relative alle mutue posizioni di punti, rette e piani, possono
ormai riassumersi in pochi principi, che valgono, senza ecce-
zioni, per elementi propri od impropri. Nel presentare quei
principi fondamentali terremo conto del fatto che ciascuno di
essi ha come duale (n.° 2) un altro dei principi stessi; porremo
l'una di fronte all'altra due proposizioni siffatte.
«) Due punti individuano
una retta, a cui essi apparten-
gono (la loro congiungente).
6) Tre punti che non ap-
partengano ad una stessa retta,
individuano un piano, a cui
essi appartengono (il piano che
li congiunge).
e) Un punto ed una retta
che non si appartengano, indi-
viduano un piano ( congiun-
gente), a cui entrambi appar-
tengono.
d) Se due punti di una
retta appartengono ad un piano,
la retta appartiene al piano;
(segue da e') per assurdo).
e) Due rette appartenenti
ad uno stesso punto, apparten-
gono pure ad uno stesso piano;
a') Due piani individuano
una retta, a cui essi apparten-
gono (la loro intersezione).
h') Tre piani che non ap-
partengano ad una stessa retta,
individuano un punto, a cui
essi appartengono (in cui si
segano).
e') Un piano ed una retta
che non si appartengano, in-
dividuano un punto (interse-
zione), a cui entrambi appar-
tengono.
d') Se due piani (passanti )
per una retta apparteyigono ad un
punto, laretta appartiene al pun-
to ; (segue da e) per assurdo).
e') Due rette appartenenti
ad uno stesso piano, apparten-
gono pure ad uno stesso punto;