Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 302 — spondenti sono direttamente uguali^ ed una di esse può sovrapporsi all' altra mediante la rotazione di un angolo piatto intorno ad 8. (Talvolta si chiama pure omotetia una coUineazione fra due piani paralleli distinti^ in cui rette corrispondenti sono parallele. In una siffatta coUineazione, caso particolare di similitu- dine, sono evidentemente uniti i punti all'inlinito comuni ai due piani; e quindi i piani stessi sono prospettivi (n.° 176)). 6) Se il centro di una omologia è improprio, >S'x, e Tasse proprio, M, la omologia prende il nome di affinità omologica. Le rette congiungenti punti omologhi sono tutte parallele fra loro ; ed è costante il rapporto delle distanze di due punti omologhi Aj A' dall' asse, perchè, detta U la intersezione di A A' coir asse, la caratteristica, o rapporto di affinità, diviene À' TT (AA^S^ U) = -A-^- Lo stesso rapporto intercede fra le aree di figure corrispondenti. Casi particolari si presentano quando la direzione di 8^ è normale all'asse {affinità ortogonale), o quando il rapporto . di affinità vale — 1 {affinità involutoria, o simmetria obliqua). Se queste due condizioni si ve- rificano insieme, si ha la simmetria ortogonale rispetto ad un asse ; due figure corrispondenti sono inversamente uguali, e per ottenerne la sovrapposizione bi- sogna far ruotare di un diedro piatto il piano dell'una intorno all' asse. Un altro caso particolare {affinità omologica speciale) si presenta quando il centro /S'on è il punto all'infinito dell'asse. Per rappresentare analiticamente una affinità omologica non speciale, assumiamo l'asse di affinità come asse delle x, ed 8^ come direzione dell'asse y, in un sistema di coordinate cartesiane non omogenee; troveremo subito le equazioni x' = ic, 2/' = '^y.) essendo n il rapporto di affinità sopra menzionato.
i — 303 — e) Se finalmente il centro di omologia 8^ e l'asse sono impropri, tutte le rette AA\ BE', . . . congiungenti punti corrispondenti sono parallele, e sono pure parallele rette corrispondenti, come AB eà A'B'. Segue che i segmenti AA\ BB', . . . , congiungenti punti omologhi, sono uguali, paralleli ed ugualmente diretti, o, brevemente, equipollenti. Ed equipollenza può chiamarsi questa speciale omologia. Figure corrispondenti AB... ed A'B' . . . sono uguali, e per sovrap- porre la prima alla seconda basta ef- fettuare una traslazione del piano su sé stesso nella direzione di /S^ (mo- vimento in cui tutti i punti descrivono segmenti equipollenti). Riferendo il piano a coordinate cartesiane di cui V asse x passi per S^, la equipollenza sarà rappresentata da relazioni del tipo x' =z X -^ a, y' = y {a costante) ; o, se gli assi coordinati sono scelti comunque, {a e b costanti). x' = X -\- a^ y' = y -^ b 183. Determinazione analitica degli elementi nniti di una collineazione fra piani sovrapposti. — Riprendiamo in esame una collineazione qualsiasi fra due piani sovrapposti tt, ti', e proponiamoci di determinare gli elementi uniti, che, in generale, saranno in numero finito (al più tre punti e tre rette ; n." 175) (^). Volendo condurre la ricerca per via analitica, riferiamo i due piani ad uno stesso sistema di coordinate omogenee (cartesiane o proiettive). Indichiamo con (a?, y, z) le coordinate di un punto di JT, con (x', y\ z') le coordinate del punto corrispondente di tt', e ricordiamo le equazioni della collineazione (n.° 171) (1) ^ Qx' = a^^x + a^^y -\- a^^z, Qy' = «21^ + ^^y + «23^j Qz' = «eia; + a^^y + «33^- (^) In modo analogo si procederebbe, quando si avesse una collineazione fra stelle sovrapposte.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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stesso piano n. Fra le altre rette
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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- e\c -j- Q cos f) = —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566:
— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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