Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 550 — la forma seguente, il risultato ottenuto, insieme al duale, che risulta dal n.° 288: Ogni punto della retta con- giungente due punti P(a, 6, e, d), P'(a\ b', e', d') ha coordinate del tipo (Àa -f- f^f^'ì - • - , ^à -f- fA,d')^ dove —- è coordinata proiettiva^ stdla retta, di quel punto rispetto a certi punti fondamentali, tra cui P' e P. Ogni piano per la retta intersezione dei due piani 7i{a, b, e, d), n'{a', b', e', d') ha coordinate del tipo (Àa -j- /^(^\ • • • , ^d -]- f4,d'), dove -— è coordinata proiettiva, nel fascio, di quel piano rispetto a certi piani fondamentali, tra cui n' e n. b) Date tre equazioni lineari ed omogenee in au -{-...=: 0, a'u -)-.,. = 0, a"w -|- . . m, v, w, . = 0, r, rappresentanti tre punti, il problema analitico di trovare un sistema di valori non tutti nulli {u, v, w, r) soddisfacente alle tre equazioni, si traduce nel problema geometrico di costruire il piano contenente i tre punti. Ogni combinazione lineare ;i{au -j- . . . ) -]- fA,{a'u +...) + v{a'"u . . . -f- ) = delle tre equazioni rappresenta un ulteriore punto di quel piano; donde l'enunciato di sinistra (cfr. n.° 291): Ogni punto del piano con- Ognipiano per ilpunto inter- giungente tre punti (a, b, e, d), (a', b', e', d'), {a", b", e", d") sezione di tre piani (a, b, e, d), (a', b', e', d'), {a", b", e", d") ha coordinate del tipo ha coordinate del tipo {Xa + fia' -|- va", ..., Xd -{- fA,d' -{- vd") Q) e) In breve, ogni procedimento analitico atto a dimostrare, col mezzo delle coordinate^ una proprietà grafica di punti, rette e piani dello spazio, può ricevere una doppia interpretazio- ne, secondo che le coordinate, di cui vien fatto uso, si riguardano come coordinate di punti o coordinate di piani. Le due inter- pretazioni conducono a due risultati, i cui enunciati si otten- gono l' uno dall' altro collo scambio delle parole punto e piano, lasciando inalterata la parola retta. (^) Sarebbe facile dimostrare, ma non occorre per il seguito, che >?, fi, V possono riguardarsi come coordinate proiettive, entro il piano pun- teggiato o la stella di piani, del punto o piano variabile, rispetto a quattro elementi fissi, tra cui i tre elementi dati.
— 551 — Si ha qui una giustificazione analitica della legge di dualità nello spazio, la quale appunto autorizza il suddetto scambio di parole negli enunciati delle proprietà grafiche (cfr. n.° 130). * 313. Coordinate proiettive di punti. — La nozione di coordinate cartesiane (omogenee o no) è fondata sopra il concetto metrico di lunghezza, o rapporto di segmenti. Volendo operare con soli concetti proiettivi, ed ottenere un sistema di coordinate particolarmente atto allo studio delle proprietà grafiche, si procederà nel modo seguente, suggerito dall'analogia colle considerazioni svolte in geometria piana al n.° 132 e seg. Si parta da un tetraedro qualsiasi XYZ1\ e si fissi inoltre ad arbitrio un punto E, che non appartenga ad alcuna faccia del tetraedro. Allora, per ogni punto P dello spazio, restano individuati i tre doppi rapporti (1) X=-YZ{XTEP\ Y=.ZX{YTEP), Z=XY{ZTEP\ dove il primo simbolo indica il doppio rapporto dei piani proiettanti dallo spigolo YZ i punti X, T, E, P, e similmente gli altri. Viceversa, noti quei doppi rapporti, sono individuati i piani proiettanti il punto P dai tre lati del triangolo XYZ, ed è quindi individuato il punto P, eccettuato solo il caso che questo punto stia nel piano XYZ (nel qual caso quei doppi rapporti valgono, in generale, zt go). Chiameremo perciò i valori (1) coordinate proiettive (non omogenee) del punto P, rispetto al tetraedro fonda- mentale XYZT ed al punto unità E, il quale ha le coordinate X= Yz= Z=zl. Si osservi subito che, se la faccia XYZ h il piano all'infi- nito dello spazio, i doppi rapporti (1) si riducono a rapporti semplici, e le coordinate proiettive X, Y, Z divengono le coordinate cartesiane di P rispetto agli assi cartesiani TX, TF, TZ, quando, come unità lineari (generalmente diverse) per misurare la prima, la seconda e la terza coordinata, si assumano le coordinate omo-
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 121 — proiettività parabolic
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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- e\c -j- Q cos f) = —
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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Page 525 and 526: (!') — 507 — 289. Equazioni di
Page 527 and 528: — 509 — se invece sta sopra xy^
Page 529 and 530: — 511 — Questa rappresenta un p
Page 531 and 532: — 513 — allora, od esiste un si
Page 533 and 534: — 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536: — 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538: — 519 — 297. Distanza dì due p
Page 539 and 540: e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542: — 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544: — 525 — Ora questi risultati, e
Page 545 and 546: — 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548: — 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550: — 531 — ordine uguagliato a zer
Page 551 and 552: — 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554: — 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556: — 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558: — 539 — Si osserverà che i nov
Page 559 and 560: — 541 — cartesiano^ le coordina
Page 561 and 562: ^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564: — 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566: — 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567: — 549 — piani P; riguardata sot
Page 571 and 572: — 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574: — 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576: — 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578: — 559 — che si possa dedurre co
Page 579 and 580: — 561 — Il teorema si dimostra
Page 581 and 582: — 563 — come piano XY di un nuo
Page 583 and 584: — 565 — II. — 10) Trovare 1'
Page 585 and 586: — 667 — essere tutte nulle). Al
Page 587 and 588: — 569 — D' altra parte è spess
Page 589 and 590: X — a
Page 591 and 592: — 573 — Se il vertice coincide
Page 593 and 594: — ; 576 — equidistanti dal punt
Page 595 and 596: — 577 — essi (n.° 312). Tra gl
Page 597 and 598: — 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600: — 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602: -^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604: — 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606: — 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608: — 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610: — 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612: ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614: — 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616: — 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618: — 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620:
— 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622:
— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624:
— 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626:
— 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628:
— 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630:
— 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632:
— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636:
— 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638:
— 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640:
— 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642:
— 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644:
— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650:
— 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652:
— 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654:
— 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656:
— 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660:
— 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662:
— 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664:
— 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666:
— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670:
— 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672:
— 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674:
— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676:
— 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678:
— 659 — Concludiamo che una qua
Page 679 and 680:
— 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682:
k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684:
— 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686:
— 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688:
— 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690:
— 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692:
— 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694:
— 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696:
— 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698:
— 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700:
— 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702:
questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704:
— 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706:
— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708:
— 689 — Se invece avessimo adop
Page 709 and 710:
— 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712:
Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714:
— 695 — sicché il paraboloide
Page 715 and 716:
— 697 — Ora questo teorema può
Page 717 and 718:
— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
Page 719 and 720:
— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722:
— 703 — perfide. Ora, se -ST è
Page 723 and 724:
— 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726:
— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732:
— 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734:
— 715 — Ora sappiamo che un con
Page 735 and 736:
— 717 — una quadrica inviluppo
Page 737 and 738:
— 719 — si trovano distribuiti
Page 739 and 740:
— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
Page 744 and 745:
— 726 — 6) Condizione, perchè
Page 746 and 747:
(22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749:
— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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