Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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La condizione è sufficente ; si dimostra per una via analoga
a quella seguita per la seconda parte del Teorema di Menelao.
Esercizi. I. — 1) Dimostrare i teoremi di Menelao e di Ceva col me-
todo della proiezione centrale, proiettando le ligure in guisa che alla tra-
vei'sale t, o al punto .S corrispondano elementi impropri.
2) Dimostrare mediante il teorema di Ceva che in un triangolo le tre
mediane passano per uno stesso punto; le tre bisettrici interne passano
per uno stesso punto; due bisettrici esterne e la bisettrice intei'na relativa
al terzo vertice passano per uno stesso punto; le tre altezze passano per
uno stesso punto.
3) Dimostrare mediante il teorema di Menelao che in un triangolo i
punti di incontro dei lati colle tre bisettrici esterne relative ai vertici oppo-
sti sono allineati; cosi pure sono allineati i punti di incontro dei lati con
due bisettrici interne e colla bisettrice esterna relativa al terzo vertice.
4) Di tre punti A', B\ 6" presi sui lati di un triangolo ABC si
rispetto ai punti medi dei lati stessi;
costruiscano i simmetrici A'\ B" , C"
si dimostri che se A', B', C appartengono ad una retta, anche A", B" , C"
appartengono ad una retta {coniugata isotomìca della prima); e se le rette
AA', BB\ ce passano per un punto, anche le rette AA", BB", CC"
passano per un punto {coniugato isotomico del primo).
5) Teorema di Simson: 1 piedi delle perpendicolari calate sui lati di
un triangolo da un punto qualunque del cerchio circoscritto sono allineati.
G) Dimostrare mediante il teorema di Menelao l'esercizio 6) del n.° 16,
e dedurne il teorema dei triangoli omologici.
7) Se delle nove intersezioni di due trilateri abc, Imn, giacenti in uno
stesso piano e non aventi elementi comuni, tre al, bm, cn stanno sopra
una retta p, ed altre tre am, bn, ci stanno sopra una retta q, anche le tre
rimanenti intersezioni an, bl, cm staranno sopra una retta r. Quelle nove
intersezioni si trovano dunque distribuite sui lati di tre trilateri abc, Imn,
pqr, per modo che ciascun lato contiene tre intersezioni e per ciascuna
intersezione passano tre lati. Due qualisivogliano dei tre trilateri sono omo-
logici in tre modi diversi (per es. abc può considerarsi come omologico a
Imn, oppure mnl, oppure nlm), e gli assi di omologia costituiscono il
rimanente trilatero.
8) Il teorema precedente può anche enunciarsi così: se in un esagono
piano semplice i vertici di posto dispari stanno sopra una retta ed i
vertici di posto pari sopra una seconda retta, i tre punti d'incontro delle
coppie di lati opposti stanno sopra una terza retta; (teorema di Pappo, cf.
n° 16, es. 17) ).
9 ) Teorema •< di Caenot (1803) : Il prodotto dei rapporti semplici determi-
nati sui lati di un poligono semplice dalle intersezioni con un cerchio è uguale
a -j- 1 » ; precisamente, se ABC ... K è il poligono ed MM', NN', . . . RE'
sono le coppie di intersezioni dei successivi lati AB, BC... KA con un
cerchio, si ha
{ABM){ABM'){BCN){BCN') ... {KAE') = + 1.