Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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251. Significato geometrico dell' annullarsi di un inya-
riante. — Poiché il valore di un invariante non si altera per
una trasformazione di coordinate (e si altera per un fattore
t, t'^ o t^^ quando tutto il primo membro dell'equazione della
curva venga moltiplicato per una quantità arbitraria ^), si pre-
vede che l'annullarsi di un invariante debba corrispondere ad
una particolarità della conica indipendente dalla posizione degli
assi coordinati.
Ed infatti sappiamo già che l' annullarsi dell' invariante
cubico, ossia la condizione J. == 0, significa che la conica si
spezza in due rette (n.*" 211); e l'annullarsi dell'invariante
quadratico, J.33 = 0, esprime che la conica è una parabola
(n.'' 196).
Supponiamo ora nullo l'invariante lineare, 7=0. Riferita
la conica ad assi ortogonali x, y arbitrari, e scrittane 1' equa-
zione sotto la forma consueta
sarà a„ -]- et 22 == 0; donde segue che a^ e a 22 hanno segni
opposti, e che J.33 = a^^a.,^ — a^^} è negativo; la conica è
dunque una iperbole (n.° 196). D'altra parte l'angolo XY degli
asintoti di una iperbole è dato da (n." 250^ (5"))
± 2 1/ - A33
tgxr
Se / ::^ 0, quell'angolo è retto, la iperbole è equilatera] e vi-
ceversa. Dunque: la condizione perchè una iperbole sia equilatera
è espressa daW annullarsi delV invariante lineare :
«11 -|- a 22 =
I
0, in assi ortogonali
«Il -{- «22 — 2ai