Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 278 — retta b si appartengono in n, il punto A' e la retta 6' si ap- parterranno in yr'; alle rette b di un fascio A in n, corrispondono dunque le rette b' di un fascio A' in n', ecc. In breve, ad ogni retta di ti corrisponde una retta di tc', e ad ogni fascio di rette in tv un fascio di rette in ti ' ; ma queste due condizioni definiscono una proiettività fra due piani rigati ti e ti'. Con- cludiamo che una proiettività fra due piani punteggiati trae con se una proiettività fra i piani stessi, riguardati come rigati, e viceversa; è dunque opportuno riunire le due proietti- vità sotto un unico nome. Una siffatta duplice corrispondenza si suol chiamare collineazionc (od omografia) fra i due piani tt, yr' ; e si può definire direttamente dicendo, che essa fa corrispondere ad ogni punto e ad ogni retta di yr, rispettivamente un punto ed una retta in yr', colla condizione che se un punto ed una retta di tc si appartengono, devono appartenersi gli elementi corrispondenti in yr'. Grli esempi portati nel n.*' 164 si riferiscono appunto a collineazioni. ò) Se la prima forma è un piano punteggiato yr e la seconda un piano rigato n', ad ogni punto A ài n corrisponde una retta a' di yr', ed ai punti di una retta 6 di yr corrispondono in yr' le rette di un fascio di centro B' (punto corrispondente a 6); se il punto A appartiene a è, la retta a' passerà per 5', sicché alle rette b' di un fascio A in yr, corrispondono i punti B' di una punteggiata a' in yr'. Nasce così una proiettività fra il piano 71 riguardato come rigato., e il piano yr' riguardato come punteggiato. In tal caso si dice che i due piani sono legati da una correlazione (o reciprocità)] intendendo, sotto questo nome, una corrispondenza fra due piani yr, yr', che muta ogni elemento (punto o retta) di yr in un elemento di nome diverso (retta o punto) di yr', e due elementi che si appartengono su yr in due elementi che si appartengono su yr'. Si vedranno in seguito esempi di correlazioni. e) Una proiettività fra due stelle 8., 8' dicesi coUineazione^ se ad ogni retta o piano di 8 corrisponde rispettivamente una retta od un piano di ;S", (ed alle rette od ai piani di un fascio corrispondono rette o picvni di un fascio). Una particolar col- lineazione {prospettiva) fra due stelle 8, 8' si ottiene riguar- dando come corrispondenti due elementi (rette o piani), che
— 279 — proiettino da S, S' uno stesso elemento (punto o retta) di un piano ausiliare. d) Una proiettività fra due stelle S, S' dicesi invece correlazione, se alle rette e ai piani di S corrispondono rispettivamente i piani e le rette di 8' (ed agli elementi di un fascio corrispondono gli elementi di un fascio). Una particolare correlazione (ortogonale) fra due stelle proprie 8, 8' si ottiene, come vedremo, facendo corrispondere ad ogni retta o piano per 8, il piano la retta perpendicolare condotta per 8'. e), f) Finalmente tra un piano n ed una stella 8' si può fissare una proiettività in modo che ai punti ed alle rette di ji corrispondano rispettivamente le rette ed i piani di 8' (colli- neazione), oppure corrispondano i piani e le rette di ;S" (correlazione ). Il concetto di corrispondenza proiettiva fra due piani fu stabilito in tutta la sua generalità dal Mobius (1827). Casi particolari erano noti anche prima; ad es., sotto l'aspetto metrico, l'uguaglianza, la similitudine, e Taf- finità (considerata già da Eulero, 1748); e, sotto l'aspetto proiettivo, la relazione prospettiva fra due piani, la omologia e la polarità rispetto ad una conica (studiate principalmente dal Poncelet, 1822). 166. Prodotto di proiettività. — Segue subito dalla definizione che due forme di seconda specie riferite proiettivamente ad una terza forma, sono riferite proiettivamente fra di loro. In altre parole, chiamando proiettività V operazione con cui si passa da una prima forma ad una seconda forma (operazione distinta dalla inversa, con cui si ritorna dalla seconda alla prima), ed estendendo il concetto di prodotto di operazioni, già introdotto a proposito delle forme di prima specie (n.° 61), possiamo dire : il prodotto di due o più proiettività tra forme di seconda specie è ancora una proiettività ; ed è precisamente una coUineazione od una correlazione, secondo che il numero delle correlazioni, che entrano come fattori, è pari o dispari. 167. Teorema fondamentale. — Riprendiamo ad es. una coUineazione fra due piani jt, ti'. Segue dalla definizione (come sappiamo) che ai punti di una punteggiata, o alle rette di un fascio di TI, corrispondono biunivocamente i punti di una punteggiata, o le rette di un fascio in ti'; che ad un triangolo, quadrangolo ... di tt corrisponde un triangolo, quadrangolo . . . di Ti'. Ma da queste osservazioni ben poco si potrebbe dedurre,
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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stesso piano n. Fra le altre rette
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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- e\c -j- Q cos f) = —
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
Page 533 and 534:
— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536:
— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658:
— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668:
— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
Page 748 and 749:
— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754:
— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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