Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 216 — Siano dunque x, y gli assi cartesiani, Z il loro punto di incontro (origine), X,, Z^ i loro punti all'infinito. Sia finalmente E un punto proprio, fuori degli assi, punto unità, al quale attribuiremo convenzionalmente le coordinate cartesiane y (+1,-1-1); vuol dire che as- X./ 7 sumeremo come unità di misura J / ralleli ad x (ascisse), e l'ordi- 7 " 7 /" nata di E per i segmenti pa- / •y l'ascissa di E per i segmenti pa- p / / ralleli / ad y (ordinate), senza 7 preoccuparci se quelle due u- nità di misura sono uguali o "~7z W '^' ^^ diverse. Ciò posto, per aver le coordinate cartesiane di un punto P, proprio, qualsiasi del piano, dovremo proiettare P ed E da y^ sull'asse x ottenendo i punti P', E', e da X^ sul- l'asse y ottenendo i punti P", E". L'ascissa X sarà allora il valore del segmento ZP' misurato coll'unità di lunghezza ZE', ossia X = ~~- e similmente l'ordinata Y = -||^. Esprimendo questi rapporti semplici mediante doppi rapporti (n.° 40), avremo X=(X^ZE'P'), Y={Y^ZE"P")e sostituendo ai doppi rapporti di punti, i doppi rapporti delle rette proiettanti da Y^ ed X^ rispettivamente, X= Y^{X^ZEP\ Y= X^{Y^ZEP). Liberiamoci ora dalla restrizione che i punti X^, T^ siano impropri. Sopra un piano qualsiasi (proprio, od anche improprio) assumiamo ad arbitrio un triangolo fondamentale XYZ, e fissiamo un punto unità E, pure ad arbitrio, ma fuori dei lati del triangolo. Allora dato un punto P qualsiasi, fuori della retta XY, rimangono definiti in valore e segno i doppi rapporti (1) X = Y(XZEP\ Y = X( YZEP) ; e viceversa, dati due numeri finiti X, Y, rimane individuato, in virtù delle (1), il punto P. I due numeri Z, F, collegati al punto P mediante le (1), si dicono coordinate proiettive (non omogenee) di P, rispetto ai punti fondamentali X, F, Z ed al punto^unità E.
— 217 — H punto Z ha le coordinate proiettive (0, 0) ; ogni punto della retta ZX ha T = 0, ogni punto di ZZ ha X = 0; il punto E ha le coordinate (1, 1). I punti di una retta uscente da X hanno costante la Y, ed i punti di una retta uscente da Y hanno costante la X. Un punto generico della retta XY avrebbe, secondole(l), X=:± 00, r= db 00; ma a togliere la indeterminazione analitica relativa a quei punti, prov- V., A /; \ / \\ vederemo colla introduzione di una terza coordinata. Se la retta ZT si suppone impropria, si ricade nel- / / " / \ \ : \p\ ' - "^r ^. \ l'ordinario sistema cartesiano. / . ..'' ^ .. .\ Dovremmo ora trattare in coor- /- \ dinate proiettive le relazioni fonda- i^ ^ mentali di posizione fra punti e rette di un piano. Una semplice osservazione ce ne dispensa. Tutti i risultati ottenuti in coordinate cartesiane nel Gap. I valgono senz' altro in coordinate proiettive, ])urchè ai punti impropri, di cui ivi talvolta si parla, si sostituiscano ora i jmnti della retta fondamentale XY; quindi al rapporto semplice di tre punti allineati, si sostituisca il doppio rapporto formato dai tre punti col punto in cui la loro retta sega XY] ecc. In particolare : ogni formola esprimente in coordinate cartesiane una relazione proiettiva di punti e rette, conserva inalterato il suo significato in coordinate proiettive. Questa affermazione si giustifica osservando che i ragiona- menti fatti in quel Gap. 1, possono ripetersi letteralmente in coordinate proiettive, pur di tener presente la suddetta avver- tenza relativa agli elementi impropri (^). (^) Ad es. il primo problema risolto in coordinate cartesiane (n.° 99), ora va enunciato così : «Date le coordinate proiettive di due punti PiiXii Yi), P2(X2, Y2), e detta Q la intersezione della retta P1P2 colla retta XY, determinare sulla prima retta quel punto P(X, Y) che forma con Pi, Po, Q un doppio rapporto assegnato {P1P2PQ) = r». Proiettando i quattro punti Pj, P^, P, Q da Y sopra la retta ZX, otterremo quattro punti aventi come prime coordinate proiettive Xi, X2, X, dz co ; e dovrà essere {Xi, X2, X, +00) = r, donde segue (n.°45) X = -\~ ^ " . Similmente — 1 — r ' • ^^ ritrovano così le formolo (1) del n.° 99, le quali conducono alle conseguenze dedotte nei n.' 100, 101. Ecc.
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538:
— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542:
— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550:
— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568:
— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576:
— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634:
— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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