Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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17) Dati sulla conica A' dell' es. precedente due punti P, ,
P.,, si
possono costruire, risolvendo un pi-oblema di secondo grado, due nuovi
punti Pg. P4 di K, tali che le normali a K in P^^P^^P^^ P4 formino fascio;
anzi la retta P3P4 si determina linearmente partendo dalla retta Pi P2
(n.° 231, es. 28)). Dalla costruzione segue che « dei quattro piedi delle
normali condotte ad una conica da un punto, tre qualisivogliano determinano
un cerchio, che sega inoltre la conica nel punto diametralmente
opposto al quarto piede » (Joachimsthal).
18) Da un punto generico S del piano si possono condurre tre normali
ad una parabola ; i loro piedi sono le intersezioni della curva con una iper-
bole equilatera che passa per S, ed ha uno degli asintoti sopra l'asse della
parabola. L'iperbole può generai-si in modi analoghi a quelli dell'es. 16).
« Il cerchio determinato dai tre piedi delle normali alla parabola uscenti
da un punto, passa per il vertice della curva; e viceversa, ogni cerchio
passante pel vertice, sega la parabola in tre punti, le cui normali concorrono
in un punto ». Quest'ultimo teorema può dimostrarsi ricorrendo all'osser-
vazione seguente.
V. — 19) Un cerchio sega una parabola in quattro punti, le cui or-
dinate (rispetto all'asse) danno una somma nulla, e viceversa; in altri
termini «la condizione affinchè un quadrangolo iscritto in una parabola
sia pure iscrittibile in un cerchio, è che il suo baricentro cada sull'asse».
Per i vertici di un quadrangolo iscrittibile in un cerchio passano due pa-
rabole, i cui assi si segano ad angolo retto (n.° 238, es. 18)) nel baricentro
del quadrangolo.
20) Un cerchio sega la iperbole equilatera xy = A-
in quattro punti,
le cui ascisse e le cui ordinate danno prodotti uguali a A;^; e viceversa.
La iperbole stessa è segata da un'altra iperbole equilatera qualsiasi in
quattro punti, le cui ascisse e le cui ordinate danno prodotti uguali a — yt^;
e viceversa. Dall' ultima proprietà segue che, delle quattro intersezioni, tre
determinano la quarta nel modo noto (n.° 231, es. 33) ) ; e ricordando la prima
proprietà, si ha: «Se di quattro pmiti di una iperbole equilatera, ciascuno
è ortocentro nel triangolo degli altri tre, allora ciascuno ha come diame-
tralmente opposto un punto, che appartiene al cerchio passante per gli altri
tre; e viceversa ».
VI- — 21) Si dimostri analiticamente che « il luogo di un punto da
cui si possono condurre tangenti perpendicolari tra loro ad una ellisse od
iperbole, è un cerchio, detto cerchio principale, concentrico alla conica e di
raggio Va^ + 6- » (cfr. n." 231, es. 40) ). Nella ellisse il cerchio è circoscritto
al rettangolo formato dalle tangenti nei vertici ; per la iperbole, è reale im-
maginario, secondo che l'angolo degli asintoti in cui è contenutala curva
è acuto od ottuso, e si riduce al solo centro se la iperbole è equilatera.
«Nella parabola y^ = 2px il luogo dei jjunti da cui escono tangenti
perpendicolari, è la retta as + -^- = 0, detta direttrice» (cfr. n.° 222, es. 14)).
(Si approfitti della (5) del n.° 199; o si scrivano le equazioni di due tan-
genti ortogonaU, di cui una sia la (5) del n.° 244, o la (5) del n.° 246).