Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 640 — piano xy{z = 0), il che non costituisce una restrizione, la conica sezione della quadrica (2') sarà (4) f{x,y,0) + l{x,y,0) = 0; essa descrive effettivamente un fascio (n." 227), al variare di k (^). In un fascio di coniche esistono generalmente tre coniche degeneri (n.° 228), i cui punti doppi costituiscono un triangolo autopolare rispetto a tutte le coniche del fascio. Ora, se una quadrica del nostro fascio sega il piano xy lungo una di quelle coniche degeneri, la quadrica tocca il piano nel punto doppio della conica, e viceversa (n.° 344). Dunque : e) Entro un fascio esistono tre quadriche, che toccano un piano generico ; i punti di contatto costituiscono un triangolo autoconiugato rispetto a tutte le quadriche del fascio (ed alle coniche che esse segano sul piano). Quante quadriche di un fascio degenerano in coni ? Sappiamo (n.° 357) che la quadrica (2') è un cono, se si annulla il discriminante ^^11 ' ' (^u -{- kb 14 = 0. Abbiamo qui una equazione di quarto grado in A:, la quale fornisce quattro valori di k, e, in corrispondenza, quattro coni. Dunque (Poncelet, 1822) : f) Entro un fascio di quadriche esistono, in generale, quattro coni. Questo numero subisce riduzioni, se una, o più quadriche del fascio degenerano in coppie di piani. (^) Se però il piano ti ^ xy forma parte di una quadrica del fascio (la quale si scinde allora in due piani tt, ti'), quel piano sarà segato da tutte le quadriche del fascio in una stessa conica, che forma parte della curva base del fascio. Questa allora si scinde in quella conica di ti, ed in una seconda conica di ti', per la quale passano pure tutte le quadriche del fascio. Viceversa, se due quadriche si segano in una conica, situata in un piano Tt, vi è una quadrica del fascio, che si scinde nel piano ti ed in un secondo piano ti ' ; questo è segato in una stessa conica dalle due quadriche primitive e da ogni quadrica del fascio. Segue di qua il notevole teorema: se due quadriche passano per una stessa conica, esse si segano lungo una seconda conica, che ha colla prima due punti comuni (o coincide con essa).
— 641 — g) / vertici dei quattro coni, aiìpartenenti ad un fascio di quadriche, formano un tetraedro autopolare rispetto a tutte le quadriche del fascio. Per dimostrare il teorema, si osservi, in primo luogo, che il piano polare di un punto generico P dello spazio, rispetto alla quadrica f -}- kq) ^= del fascio, ha un'equazione del tipo (5) {a,x -f a,y + a,z -f- a,) + k{^,x-{- /?,y + §,z -\- /?,) = 0, supposto che a^x -j- • • • = e ^^x • • • -f- ^ rappresentino i piani polari di P, rispetto alle quadriche /" = 0, gp = ; ciò si verifica, scrivendo per disteso le dette equazioni, secondo la nota regola (n.*' 351). Ne viene che « i piani polari di un punto generico, rispetto alle quadriche di un fascio, formano un fascio ». Se però il punto P è vertice di un cono appartenente al fascio, cono che corrisponderà a un certo valore di k, il piano polare di P, rispetto al cono, è indeterminato (n." 359), e la equazione (5), per quel valore di A-, diviene una identità. Ciò è possibile soltanto, se «1 : a, : «3 : a, = /?! : ^, : /?., : ma allora ^^ ; i piani polari di P, rispetto alle quadriche /" qp = 0, e = 0, a tutte le altre quadriche del fascio, coincidono. Sicché « il vertice di un cono, appartenente ad un fascio di quadriche, ha lo stesso piano polare, rispetto a tutte le quadriche del fascio ». Fra queste quadriche, oltre al cono di vertice P, si trovano altri tre coni, i cui vertici siano Q, P, 8. Il piano polare di P, rispetto a tutte le quadriche del fascio, e quindi anche rispetto al cono Q, deve passare per il vertice Q del cono (n.° 359), e deve passare analogamente per P, 8] sarà dunque il piano QR8. Risulta cosi dimostrato che, nel tetraedro PQR8, ciascun vertice ha come piano polare la faccia opposta, rispetto a tutte le quadriche del fascio. h) Ogni piano tangente, lungo una generatrice, ad uno dei coni appartenenti al fascio di quadriche, sega le quadriche lungo coniche, che si toccano in due punti fissi; i due punti appartengono a quella generatrice. Infatti il fascio delle coniche, sezioni col piano nominato, possiede una conica (sezione del cono), che degenera in una retta doppia ; quel fascio è, in conse- guenza, un fascio-schiera di coniche bitangenti (n.* 225; 231,Oss,) 41
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 113 — liari {8 ed 8\ oppure s
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 121 — proiettività parabolic
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— 123 — A, B, C . . . della cir
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 359 — a primo grado, si ricon
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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- e\c -j- Q cos f) = —
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 501 — Indicando i tre denomin
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
Page 535 and 536:
— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608: — 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610: — 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612: ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614: — 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616: — 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618: — 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620: — 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622: — 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624: — 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626: — 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628: — 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644: — 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652: — 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656: — 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657: — 639 — Esse passano tutte per
Page 661 and 662: — 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664: — 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666: — 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668: — 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670: — 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672: — 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674: — 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676: — 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678: — 659 — Concludiamo che una qua
Page 679 and 680: — 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682: k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684: — 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686: — 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688: — 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690: — 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692: — 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694: — 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696: — 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698: — 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700: — 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702: questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704: — 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706: — 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708: — 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
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— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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