Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 632 — da P usciranno due rette reali e distinte p e p', appartenenti alla quadrica, e costituenti la intersezione di questa col piano tangente in P. Dobbiamo dimostrare che ogni altro punto Q della quadrica, e iperbolico. È iperbolico intanto ogni altro punto di p, op'] infatti un punto di p (ad es.) non può esser ellit- tico, giacché per esso passa una prima retta reale p, ne può esser parabolico, che tale sarebbe allora il punto P (n.° 362). Pos- siamo dunque supporre che il punto considerato Q stia fuori di p^ p',G quindi fuori deL'piano pp'- Consideriamo allora il piano Qp ; questo sega la quadrica lungo p, e lungo una seconda retta reale q' (n.° 3i6), la quale dovrà contenere il punto Q, che appartiene al piano ed alla quadrica, ma non a p. Similmente, segando la quadrica col piano Qp', otteniamo una seconda retta reale q della quadrica, pure passante per Q. In conclusione, per Q passano due rette reali della quadrica, g, q\ certo distinte, che altrimenti Q, e quindi anche P, sarebbe parabolico, contro l'ipotesi. Con ciò il teorema enun- ciato alla fine del n." 361 è dimostrato, anche nella ipotesi dei punti iperbolici, e quindi sussiste in ogni caso. 364. I due sistemi dì rette di una quadrica rigata. — Riprendiamo in esame la ultima ipotesi : da un punto P di una quadrica, escano due rette reali e distinte, p, p\ appartenenti alla superfìcie. La costruzione del n.° precedente ci ha mostrato che, per ogni altro punto Q della quadrica, passano due rette reali e distinte q, q' • delle quali la prima, g, appartenendo al piano Q p', sega la retta p\ mentre la seconda, q', sega la retta p. Prendiamo ora sulla superficie un terzo punto -B ; colla costruzione analoga otteniamo due rette reali e distinte r, r' uscenti da P, delle quali la prima sega p', mentre la seconda sega p.
— 633 — Cosi continuando, vediamo che sulla superficie esistono infinite rette reali : di queste, alcune p, q, r, 6', • • • segano p' ; le altre p\ q', r', s', segano p. Chiameremo primo sistema (o serie, o schiera) V insieme delle rette che incontrano p ' secondo sistema V insieme delle ; rette che segano p ; avvertendo sin d' ora che i due sistemi hanno proprietà simmetriche, sicché sarà lecito scambiare la denominazione di primo e secondo sistema. Ora, ai due sistemi spettano le seguenti notevoli proprietà. 1) Due rette di uno stesso sistema sono sgliembe tra loro. Supposto infatti, ad es., che g ed r si segassero, poiché entrambe segano p\ seguirebbe che le tre rette g, r, p' dovrebbero appartenere ad un medesimo piano, o ad un medesimo punto (n.° 7, ò) ). Nel primo caso quel piano formerebbe parte della quadrica ; nel secondo caso la quadrica sarebbe un cono col vertice in quel punto (n.° 361). Ma queste conclusioni sono eviden- temente in contraddizione colle ipotesi, in cui ci siamo posti. 2) Due rette di sistemi diversi si segano (in un punto proprio od improprio). Ciò risulta chiaro intanto per le cop- pie di rette p, p'] q, q' \ r, r'; . . ., che escono, per costruzione, dai punti P, Q, i?, . . . assunti sulla superficie, e costituiscono le intersezioni di questa coi piani tangenti nei punti nominati. Consideriamo ora, ad es., le due rette g, r'. La r' sega il piano qq' in un punto, che, appartenendo alla quadrica, dovrà stare su q, o su q' ; ma non può stare su q ', per il lemma precedente ; dunque deve stare su q. Riassumendo questi risultati, insieme ai precedenti, possiamo dire : Una quadrica a punti iperbolici possiede infinite rette reali, che si distribuiscono in due sistemi; due rette di uno stesso sistema sono sghembe, due rette di sistemi diversi si segano; ad ogni punto della superficie, e ad ogni piano tangente alla superficie appartengono due rette, una del primo, V altra del secondo sistema {}). i}) Proprietà analoghe, quando si sostituisca 1' agge^ivo reale con immaginario^ sussistono pure per le quadiiche a punti ellittici, ma presen- tano minore interesse, mancando allora la intuizione geometrica.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 121 — proiettività parabolic
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 179 — ' sulle relazioni (a),
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— 183 — ed il termine noto, i r
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 233 — curva, e si riguarderan
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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— 267 — retta x sopra cui quest
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 365 — 32) Dal teorema dell' e
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 383 — tre coniche degenen (a
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— 385 — Se ora si suppone che d
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— 391 — Im- sicché ± Vx^ -\-
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— 399 — La costruzione degli as
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— 415 — dove p è una costante
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 457 — il piano di K' intorno
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538:
— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542:
— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
Page 545 and 546:
— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550:
— 531 — ordine uguagliato a zer
Page 551 and 552:
— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
Page 555 and 556:
— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
Page 559 and 560:
— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
Page 565 and 566:
— 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568:
— 549 — piani P; riguardata sot
Page 569 and 570:
— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
Page 573 and 574:
— 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576:
— 557 — Per costruire un punto
Page 577 and 578:
— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
Page 599 and 600: — 581 — quel modo, pur di scegl
Page 601 and 602: -^ 583 — glianze (1). Si conclude
Page 603 and 604: — 585 — una posizione assunta d
Page 605 and 606: — 587 — uniti, ed i cui spigoli
Page 607 and 608: — 589 — piani corrispondenti, s
Page 609 and 610: — 591 — Finalmente se, dato un
Page 611 and 612: ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
Page 613 and 614: — 595 — 839. Polarità nello sp
Page 615 and 616: — 597 — Esercizi. I. — 1) Una
Page 617 and 618: — 599 — si osservi che le condi
Page 619 and 620: — 601 — 18) Assunto r asse di u
Page 621 and 622: — 603 — (n.*' 323), r ellissoid
Page 623 and 624: — 605 — La curva intersezione d
Page 625 and 626: — 607 — punto comune alle due r
Page 627 and 628: — 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644: — 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 653 and 654: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656: — 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658: — 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660: — 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662: — 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664: — 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666: — 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668: — 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670: — 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672: — 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674: — 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676: — 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678: — 659 — Concludiamo che una qua
Page 679 and 680: — 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682: k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684: — 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686: — 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688: — 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690: — 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692: — 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694: — 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696: — 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698: — 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700: — 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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