Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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nel campo proiettivo ; differiscono invece sia per la forma, sia
per talune proprietà metriche.
Esercìzi. I. — 1) Scrivere le equazioni delle coniche passanti per i
seguenti gruppi di cinque punti: a) (0, 0), (2, 0), (0, — 3), (1, 1), (1,-1);
b) (1,0), (0,2), (2,3), punti air infinito degli assi a;,?/; e) (0, 0), (1,0), (0, — 3),
punti all'infinito delle due bisettrici degli angoli xy.
2) Le coniche delFes. 1) sono ellissi, parabole, o iperboli?
3) Determinare le intersezioni della conica x^ ~\~2xi/ — y^ -{- Ax — Qy
4-3 = cogli assi coordinati, colle rette x -\- 1 = 0, x -}- y -- 2 =z
colla retta all'infinito.
4) Scrivere la equazione di una parabola passante per i punti (1, 0),
(2, 0), (0, ]), (0, 4); quante soluzioni ha il problema?
5) QuaFè la condizione perchè la conica anx^ -f- " • " =
sia tan-
gente all'asse x, o all'asse y? quali sono le condizioni perchè il punto di
contatto abbia coordinate assegnate (a, 0), o (0, /?)? quali condizioni perchè
la conica tocchi la retta all'infìnito in un dato punto (a, /?, 0)?
6) In particolare, come si presenta l'equazione di una conica che
tocchi nella origine l'asse x, o l'asse y? e la equazione di una conica che
tocchi uno degli assi nel punto all'infinito?
7) Scrivere la equazione di una conica (iperbole) che passi per i
punti (0, 1), (0, 3), (2,2), e tocchi l'asse x nel punto all'infinito.
8) Scrivere la equazione di una parabola che passi per i ])unti (0, 0),
(2,0), (0, 3)^e tocchi la retta all'infinito nel punto situato sulla bisettrice
dell'angolo xy.
9) Dimostrare che la equazione di una conica tangente agli assi rr, y
nei loro punti all'infinito, vale a dire di una iperbole avente come asintoti (')
gli assi coordinati, si presenta sotto la forma 2ai2xy + asa = 0, ossia
xy = costante (cfr. n." 162, es. 2) ). Quale proprietà ne segue relativamente
al parallelogramma formato dalle coordinate di un punto?
10) Dimostrare che una parabola, la quale passi per 1' origine toccando
ivi l'asse y, e tocchi la retta all'infinito nel punto all'infinito dell'asse x,
ha una equazione del tipo aaat/^ -f- 2ai3X = 0, ossia y- = 2px, dove p è
una costante (cfr. n.° 161); in questo sistema di riferimento l'ascissa è
dunque proporzionale al quadrato dell'ordinata.
11) Scrivere la equazione di una parabola che tocchi gli assi x, y in
punti dati (a, 0), (0, /?), rispettivamente; si dimostri che delle due equazioni
soddisfacenti al problema, una rappresenta la congiungente i due
punti contata due volte.
II- "~ 12) Si dimostri che la equazione, in coordinate proiettive omo-
genee, di una conica passante per i vertici del triangolo fondamentale si
presenta sotto la forma
dove a, /?, y sono coefficienti.
ayz -f- ?zx -\- yxy = 0,
(') Por asintoto di una iperbole si intendo, come poi diremo, la tangente alla conica
in un punto all'infinito.