Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 400 — asintoti; la involuzione è ellittica od iperbolica, secondo che la conica è una ellisse od una iperbole (^). Tutto ciò segue subito da un teorema del n.° 205, applicato al centro della curva. Due diametri coniugati e la retta alF infinito, polare del centro, formano un triangolo autopolare rispetto alla conica; e viceversa, se un triangolo autopolare ha un lato all'infinito, gli altri due sono diametri coniugati. Di qua, e da un teorema del n.° 206, segue che due diametri coniugati di una ellisse reale sono entrambi secanti (com'è del resto ogni diametro della ellisse), mentre di due diametri coniugati distinti di una iperbole, uno è secante ( o trasverso ), e l' altro non secante ( o non trasverso). Sotto l' aspetto analitico si osservi che i due diametri m{a^^x + a^^y + a^^z) -f- n (a^^x + a^y + a^^z) = 0, m'{a^^x -\- a^^y -\- a^^z) -\- n'{a^^x -\- a^^y -\- a^^z) = 0, della conica (1) (n,° 232) sono coniugati, se il polo (wz, n, 0) del primo appartiene al secondo, cioè se od anche a^^mm' -j- a^^{mn' -\- m'n) ~\- a^-^nn' = 0, m m' . f m . m' \ . " n n \ n n J _ donde si ricava nuovamente (n.*' 81) che i diametri coniugati formano una involuzione, le cui rette doppie (asintoti) si otten- Di qui sarebbe facile ritrovare l' equa- gono ponendo ^ = -^ . zione complessiva (6) degli asintoti. La definizione permette, dato un diametro, di costruire il coniugato. D' altra parte, nella costruzione di coppie di diametri coniugati, giovano talora le seguenti proposizioni, che discendono dai teoremi del n° 209 sul quadrangolo iscritto o sul quadrilatero circoscritto ad una conica, quando si introduca la ipotesi che un lato del triangolo, o trilatero diagonale sia all'infinito: Le linee mediane di un parallelogramma iscritto in una conica sono diametri coniugati. Le diagonali dì un parallelogramma circoscritto sono pure diametri coniugati. Q) Si ha qui la ragione dell'aggettivo ellittica o iperbolica^ attribuito ad una involuzione.
— 401 — La prima proposizione si enuncia pure cosi: Le corde congiungenti un punto di una conica cogli estremi di un diametro (corde supplementari) sono parallele a due diametri coniugati. 236. Assi di una conica. — Riprendiamo le tre specie di coniche. Sappiamo che un diametro qualsiasi biseca un sistema di corde parallele tra loro, le quali, generalmente, riusciranno oblique rispetto al diametro. Sorge ora la questione se vi sia qualche diametro particolare, il quale bisechi le corde perpendicolari ad esso. Un tal diametro (se esiste) è asse di simmetria ortogonale per la curva, e dicesi asse (o diametro principale) della conica; i punti in cui esso incontra la curva, chiamansi vertici. La tangente in un vertice è perpendicolare al relativo asse. Nella ricerca degli assi per via sintetica, conviene trattare separatamente le coniche a centro e la parabola. Per le prime si osservi che, se la retta a è un asse, il diametro ò, perpendicolare ad a, è coniugato con a (n.'' 235); quindi anche 6 biseca le corde parallele ad a, ossia perpendicolari a &, anche 6 è un asse. Viceversa, se a e h sono due diametri con-
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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