Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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„ 706 — r equazione cubica A {k) = 0, che abbiamo già incontrato più volte (n.' 378, 394). Il procedimento si semplifica notevolmente, se si parte dall' equazione normale della quadrica. Noi lo esporremo nel caso dell'ellissoide, ed enunceremo i risultati relativi agli altri casi. Sia dato un ellissoide non rotondo (1) ^ + 1 + -^ = 1. i cui assi possiamo supporre scelti in guisa che sia (2) a > 6 > e. La conica all'infiaiito II jr dell' ellissoide ha (nel piano ^ = 0) l'equazione (3) -„;^ + f.^ + -,- = 0, mentre (nello stesso piano) l'assoluto i^o^ ha l'equazione (4) x^ -f y^' -f 0^ =:= 0. La conica generica del fascio, determinato da H ^^ i2 -e, ossia ~r + |r + -|- - ''(='' + r- + '') = 0- (^ - *=) + yiì^ - ") + 'i^ - «=) = 0, degenera in corrispondenza ai tre valori del parametro , _ 1 _i L Essa, ad es., per il valore /t = ossia X ^^ , si scinde nelle due rette (5) —1/^^"=^"' ± -^-VV' — c^ = 0, a e rette che son reali in virtù delle (2) ; agli altri due valori di li corrispondono invece, come subito si vede, coppie di rette im- maginarie. La stessa equazione (5), ove si faccia astrazione dalla / = 0, rappresenta i due piani proiettanti dall'origine quelle due rette, rappresenta i due piani ciclici reali condotti per il
— 707 — centro dell'ellissoide. Essi si segano lungo l'asse y, che è Vasse di lunghezza intermedia. I diametri coniugati ai due piani (5) hanno le equazioni (n.° 372) ij = 0, ^^^.^ = -± -~j.J==^ aVa^ — b-' cVb' — C-" e segano l'ellissoide (1) in quattro punti, le cui coordinate si ottengono, risolvendo il sistema formato dalle due equazioni ora scritte (presa la seconda coll'uno e coli' altro segno) e dal- l'equazione (1). Fatti i calcoli, si ottengono cosi le coordinate dei quattro ombelichi reali deW ellissoide • Similmente si dimostra che i piani ciclici reali condotti per d centro di un iperboloide ad una falda passano per il maggiore dei due assi trasversi ; e gli analoghi piani, relativi aW iperboloide a due falde, passano per il maggiore dei due assi non trasversi. Dei due iperboloidi, solo il secondo ha quattro ombelichi reali nel piano principale perpendicolare all'asse nominato. Per il paraboloide ellittico h -— = 2z, p q con /> > 2 > 0, i due piani ciclici reali uscenti dal vertice hanno le equazioni yVp — ^ ± zVq = 0, e i due ombelichi reali, propri, hanno le coordinate (o, ±vr(r-i), 4~(i>-?))- Le due serie di sezioni circolari del cono generale di 2° ordine furono scoperte da Descartes (1648), mentre Apollonio aveva insegnato a determinare una delle serie, quando l'altra era nota. D'Alembert (1780) dimo- strò che anche l'ellissoide possiede due serie di sezioni circolari. La ricerca generale, per tutte le specie di quadriche, fu fatta da Monge e Hachette (1802); le considerazioni sintetiche del n.° 399 sono dovute a Poncelet (1822). 401. Quadriche a centro confocali. — Ad una nuova serie di proprietà metriche notevoli delle quadriche si giunge, quando si cerchi di estendere a queste superficie la nozione di fuochi,
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 15 — a') Ritornando alla figu
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— 17 — E sembra appunto che gli
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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— 85 — notiamo che il punto med
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— so- sia divisa armonicamente da
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 121 — proiettività parabolic
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— 125 — Se nella proiettività
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— 127 — è omologico al triango
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 145 — opposti del triangolo,
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 157 — Parte Seconda. Geometri
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 163 — la quale esprime che i
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 179 — ' sulle relazioni (a),
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— 185 — questa convenzione cost
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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— 207 — Come le coordinate omog
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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% — 245 — continuità, si consi
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 399 — La costruzione degli as
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 472 — sistema di coordinate p
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674: — 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676: — 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678: — 659 — Concludiamo che una qua
Page 679 and 680: — 661 — del n.° 378^ la quale
Page 681 and 682: k — 663 — Ritornando al problem
Page 683 and 684: — 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686: — 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688: — 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690: — 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692: — 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694: — 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696: — 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698: — 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700: — 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702: questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704: — 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706: — 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708: — 689 — Se invece avessimo adop
Page 709 and 710: — 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712: Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714: — 695 — sicché il paraboloide
Page 715 and 716: — 697 — Ora questo teorema può
Page 717 and 718: — 699 — 2) Ogni iperboloide rif
Page 719 and 720: — 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722: — 703 — perfide. Ora, se -ST è
Page 723: — 705 — quattro fasci impropri
Page 727 and 728: — 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730: — 711 — sopra una stessa retta,
Page 731 and 732: — 713 — cono dette direzioni as
Page 733 and 734: — 715 — Ora sappiamo che un con
Page 735 and 736: — 717 — una quadrica inviluppo
Page 737 and 738: — 719 — si trovano distribuiti
Page 739 and 740: — 721 — per la direttrice /'. l
Page 741: — 723 — due punti fissi della i
Page 744 and 745: — 726 — 6) Condizione, perchè
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Page 748 and 749: — 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752: INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
Page 753 and 754: — 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756: — 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758: — 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760: — 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762: — 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764: — 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766: — 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773: Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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