Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 662 — ellittico od iperbolico) ; la retta, in cui questi due si segano, dicesi asse del cilindro. 381. Casi particolari ; quadriche rotonde ; sfera. — Noi abbiamo visto nei n.^ 379, 380 che, nota una radice k, dell'equazione A(k) = (ad es. la radice k, = nel caso dei parabo- loidi), la determinazione dei due piani principali, corrispondenti alle altre due radici, è ridotta alla determinazione degli assi di una certa conica K, assi che, congiunti colla retta p normale al piano ji di K nel centro della conica, forniscono i piani principali nominati. Ora può accadere che la conica K sia un cerchio, nel qual caso ogni suo diametro è asse. Il ragio- namento, fatto sopra, prova allora che ogni piano per p è piano principale ; la quadrica possiede dunque infiniti piani principali, passanti per un asse p, e, quando la quadrica abbia centro, un ulteriore piano principale perpendicolare all' asse. D'altra parte, ogni piano normale a p sega la quadrica lungo una conica simile a K (n.° 371), cioè lungo un cerchio che ha il centro su p {n° 374). La quadrica è dunque rotonda ; essa può generarsi, facendo ruotare intorno a p (asse di rotazione) la conica (meridiano), secondo cui la superfìcie è segata da un piano qualsiasi condotto per p'. Ritroviamo cosi le quadriche rotonde, di cui si è discorso al n." 328, superficie che hanno evidentemente infiniti piani di simmetria. Se poi, in un caso più particolare, la conica meridiana è un cerchio, la quadrica sarà una sfera. Ogni piano diametrale della sfera è piano principale, o piano di simmetria ; ogni diametro è asse, coniugato al piano diametrale perpendicolare ad esso. Per la sfera adunque la polaritcà, che si genera nella stella avente per centro il centro della sfera, quando ad ogni diametro si associ il piano diametrale coniugato (n.''377), è la polarità ortogonale o sferica (n.° 130); il cono asintotico della sfera, che determina quella polarità, è dunque il cono delle direzioni assolute uscenti dal centro ; e la conica all' infi- nito della sfera, anzi di ogni sfera, è il cerchio assoluto dello spazio (cfr. n.° 323, Oss.). Le sfere (superficie caratterizzate da una proprietà metrica) rientrano dunque nella famiglia delle quadriche (superficie definite da caratteri proiettivi), come quadriche costrette a contenere il cerchio assoluto dello spazio.
k — 663 — Ritornando al problema dei piani principali, possiamo ora affermare : Una quadrica possiede più di tre, anzi infiniti piani principali, solo quando essa è rotonda, nel qual caso sono principali tutti i piani passanti per l'asse di rotazione, e, se la quadrica ha ceMro, un piano ulteriore perpendicolare al detto asse. Ogni piano diametrale della quadrica è principale, se essa è una sfera. Osservazione. — Si, può chiedere quale particolarità offra l'equazione (5) A (k) a II a 21 k (('>> a 12 — k a 13 a 23 = a 31 a 32 0,33 k da cui dipendono i piani principali di una quadrica, quando questa è rotonda. Notiamo perciò che la (5) non può avere più di tre radici; e che ad una, ki di queste corrisponde (n.° 378) un solo piano principale, se le equazioni (4) (n." 378), ove sia posto k = ki, determinano i rapporti l \ m : n. Perchè si ab- biano infiniti piani principali, dovranno dunque quelle equazioni (4), in corrispondenza a un particolar valore di k, lasciare indeterminati i rapporti / : m : n ; ciò accade, se due delle (4) diventano conseguenze della rimanente, ossia se esiste un valore ki di k, che annulli tutti i minori del secondo ordine del determinante (5). In tal caso si dimostra che k], è radice doppia dell'equazione (5); e, viceversa, una radice doppia gode quella proprietà ('). Un caso di maggiore indeterminazione si (}) Indicando bi'evemente con A il determinante (5), con òn un suo elemento, e con Ah il relativo complemento algebrico, si osservi che l'e- quazione cubica in /f, /l := 0, dà, derivata rispetto a A", l'equazione qua- dratica /Iji -|~ ^-i-i -{- ^33 = 0- Ora, se un valore A-^ di A- annulla il determinante A e tutti i minori Aìì, certo A-j è radice doppia dell'equazione J =: 0, perchè ne annulla il primo membro e la funzione derivata. Si supponga ora, inversamente, che un valore A"j di A" sia radice doppia dell' equazione 4=0, e quindi semplice dell' equazione A u -\r A 22 -\- A ^i z=i 0. Indicando con ilm una permutazione dei numeri 1, 2, 3, e tenendo conto dell'identità A a Ah — A^n = SmmA^ la quale, per A- = A'i, diviene A a An =^ ^^/, possiaaio affermare che A'i rende (zl„ + A22 + A,s)Au = A\i + Ah, + A%i z= 0, e quindi (trattandosi di quantità reali) Aii = 0, zl2( = 0, /l,, =: 0, per i = 1, 2, 3. Sicché A" j annulla tutti i minori del secondo ordine di A.
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 107 — da u' ad u. Il punto uu
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 121 — proiettività parabolic
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— 125 — Se nella proiettività
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— 129 — Supponiamo, al contrari
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— 135 — il teorema duale) la in
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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- e\c -j- Q cos f) = —
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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497 — Parte Quarta. Geometria ana
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— 499 — e la terza coordinata {
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— 501 — Indicando i tre denomin
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— 503 — Viceversa : ogni equazi
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— 505 — 287. Condizione di para
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
Page 629 and 630: — 611 — P', mentre il coefficie
Page 631 and 632: — 613 — quazione del piano tang
Page 633 and 634: — 615 — questa ipotesi sarà so
Page 635 and 636: — 617 — Due rette siffatte, in
Page 637 and 638: — 619 — quadrica in un punto R
Page 639 and 640: — 621 — una quadrica : due pian
Page 641 and 642: — 623 — esso pure alla quadrica
Page 643 and 644: — 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646: — 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648: — 629 — goli collo stesso verti
Page 649 and 650: — 631 — cano in P la quadrica,
Page 651 and 652: — 633 — Cosi continuando, vedia
Page 653 and 654: — 635 — Segue inoltre che il pr
Page 655 and 656: — 637 — Dualmente, se i sostegn
Page 657 and 658: — 639 — Esse passano tutte per
Page 659 and 660: — 641 — g) / vertici dei quattr
Page 661 and 662: — 643 — autoconiugato rispetto
Page 663 and 664: — 645 — lungo coniche, che hann
Page 665 and 666: — 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
Page 667 and 668: — 649 — %• 1 (^))> o può non
Page 669 and 670: — 651 — che si riconosce essere
Page 671 and 672: — 653 — di centro, i paraboloid
Page 673 and 674: — 655 — 2^0 ) della quadrica (n
Page 675 and 676: — 657 — triangolo, insieme al c
Page 677 and 678: — 659 — Concludiamo che una qua
Page 679: — 661 — del n.° 378^ la quale
Page 683 and 684: — 665 — drangolo ; ed è autopo
Page 685 and 686: — 667 — 4) Date le equazioni di
Page 687 and 688: — 669 - a) Supposto anzitutto che
Page 689 and 690: — 671 — rappresentante un cono
Page 691 and 692: — 673 — mentre k cresce in valo
Page 693 and 694: — 675 — Il piano y =: iavece se
Page 695 and 696: — 677 — 387. Iperboloide a due
Page 697 and 698: — 679 — il piano polare di ques
Page 699 and 700: — 681 — mente che la quarta coo
Page 701 and 702: questa, colla traslazione di assi a
Page 703 and 704: — 685 — Per procurarci le equaz
Page 705 and 706: — 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
Page 707 and 708: — 689 — Se invece avessimo adop
Page 709 and 710: — 691 — Osservazione. — Abbia
Page 711 and 712: Le ultime due ci danno — 693 —
Page 713 and 714: — 695 — sicché il paraboloide
Page 715 and 716: — 697 — Ora questo teorema può
Page 717 and 718: — 699 — 2) Ogni iperboloide rif
Page 719 and 720: — 701 — dri siffatti» (cfr. n.
Page 721 and 722: — 703 — perfide. Ora, se -ST è
Page 723 and 724: — 705 — quattro fasci impropri
Page 725 and 726: — 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728: — 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730: — 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
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— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
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Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
show all

Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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