Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 146 — BE', Od' appartengono ad una stessa involuzione, ed i gruppi AA'B'C, BB'C'A', CC'A'B' sono armonici (cfr n." 78, es. 7), 8)). 22) Date due involuzioni sopra una circonferenza mediante i relativi poli, sì costruisca la proiettività prodotto di quelle (n." 61), e si dimostri che ha per asse la congiungente i due poli (n.° 78). 23) Una proiettività tra forme sovrapposte può, in infiniti modi, scin- dersi nel prodotto di due involuzioni ; (si supponga che la proiettività sia se- gnata sopra una circonferenza). V — 24) Dati due angoli retti, a lati non paralleli, ed un parallelogramma, costruire colla sola riga la retta uscente da un punto dato e perpendicolare ad una data retta (es. 12) e n.° 16, II). 25) In particolare : dato un quadrato, condurre coUa sola riga da un punto dato la perpendicolare ad una retta assegnata. (Steinb:b). (Si supponga anzitutto che la retta passi per il centro del quadrato, e che il punto cada nel centro stesso ; per la intersezione della retta con un lato si conduca la perpendicolare a questo lato fino ad incontrare il lato opposto, poi la parallela ad una diagonale del quadrato . . .). 28) Dato un quadrato, bisecare coUa sola riga un angolo retto (il cui vertice, può supporsi cada nel centro del quadrato). 27) Dato un quadrato ed un angolo ab, costruire colla sola riga un angolo a'b' = afe, di cui sia assegnato un lato a' ed il vertice. (Supposto che i due angoli abbiano lo stesso vertice, tutto si riduce a costruire la involuzione simmetrica di cui a'b è una coppia; ora le rette perpendico- lari ad a ' e b costituiscono una seconda coppia della detta involuzione . . .). 28) Dato un quadi-ato, verificare coUa sola riga se due dati segmenti AB, EF siano uguali; (si costruisca un parallelogramma AB CD di cui il lato B C sia uguale e parallelo ad E F, e si considerino le diagonali . . .). 29) Dato un quadrato, e determinato un cerchio coll'assegnarne il centro ed un punto A, oppure tre punti A, B, C, costruire, colla sola riga, l'ulteriore intersezione del cerchio con una retta arbitraria condotta per A ; variando la retta si ottengono, senza compasso, quanti punti si desiderano del detto cerchio. 90. Problemi di secondo grado. — Nelle scorse lezioni ci è accaduto più volte di risolvere problemi di geometria piana, sia col metodo analitico, sia mediante effettive costruzioni. Alcuni di quei problemi, trattati analiticamente, ci hanno condotto ad equazioni lineari (problemi di primo grado)', e noi siamo riu- sciti a risolverli graficamente facendo uso di linee rette, cioè colla sola riga (a parte speciali avvertenze, quando si presen- tavano particolarità metriche). Tali sono ad es., i problemi: costruire l'elemento quarto armonico dopo tre elementi dati (n.^éS, 49); costruire l' elemento corrispondente ad un elemento dato in una proiettività definita mediante tre coppie di eie-
— 147 — menti (n.** 68), od in una involuzione definita mediante due coppie di elementi coniugati (n.° 84). Altri problemi invece, trattati analiticamente, ci hanno condotto ad equazioni quadratiche (problemi di secondo grado)] mentre per la loro risoluzione grafica si è dovuto far uso di circonferenze (cioè del compasso), oltre che di rette. Ricorde- remo, tra questi, la determinazione di una coppia che divida armonicamente due coppie di punti assegnati sopra una retta (n.^ 53), e la costruzione degli elementi uniti di una proiettivita tra due forme di prima specie sovrapposte (n.*^ 77). Riservandoci di trattare ampiamente nel seguito la que- stione dei problemi geometrici, in relazione coi mezzi impiegati a risolverli, vogliamo esaminare qui alcuni problemi di secondo grado, che si connettono strettamente cogli argomenti discussi nelle ultime lezioni. Osserviamo intanto che un problema di secondo grado, per definizione, avrà due soluzioni, le quali però potranno essere reali e distinte, o reali e coincidenti (quindi una soluzione dal punto di vista grafico), o immaginarie (nessuna soluzione grafica). E non è escluso che, per una posizione particolare dei dati, il problema possa avere infinite soluzioni (e la corrispondente equazione ridursi ad una identità); questo caso si presenta certamente quando^ di un problema di secondo grado, si conoscano più di due soluzioni. 91. Coppia comune a due involuzioni sovrapposte. — Pro- poniamoci il seguente problema: Date due involuzioni sopra uno stesso sostegno, determinare una coppia ad esse comuìie. Fissato sul comune sostegno un unico sistema di coordinate proiettive (o casi particolari), le due involuzioni saranno rappresentate da equazioni del tipo axx' + ^{x + a;') + ó =0, a'xx' -f ^'(x -f x') \- ò' = Q, dove «,/?,.,.,«'... sono quantità note; si tratta di risolvere le due equazioni rispetto alle incognite x, x' . Riguardiamo per- ciò come incognite ausiliari il prodotto xx' e la somma x -\- x'\ ricaveremo
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 511 — Questa rappresenta un p
Page 531 and 532:
— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
Page 751 and 752:
INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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