Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 276 — dal punto di contatto, le equazioni parametriche della epicicloide si presentano sotto la forma X = (R -\- r) y = (B -\- r) cosgp seiiq> — rcos{(p + VX — rsen(qp -ftp), /p _ ^^ mentre le equazioni della ipocicloide si ottengono mutando il segno ad r. La curva è in generale trascendente; ma diviene algebrica quando è razionale. Così la ipocicloide, se E = 2r, si riduce ad un diametro del cerchio fìsso (donde un mezzo per trasformare un movimento rotatorio in rettilineo); e se E, = 4r, diviene un astroide (es. 10)). La epicicloide, se i due cerchi sono eguali, diviene una cardioide ( es. 7)), ecc. 14) Intorno ad un cerchio fìsso è avvolto un fìlo, un cui estremo cade nel punto P del cerchio ; se ora si svolge il fìlo tenendolo teso pel detto estremo (in guisa ohe il tratto svolto PQ si mantenga sempre tangente al cerchio nel punto variabile Q), il punto P descrive una curva trascendente detta sviluppante del cerchio. Si ricerchino le equazioni parametriche, assumendo come parametro l'angolo al centro che insiste sull'arco di cerchio PQ. Capitolo VI. Proiettività tra forme di seconda specie. 164. Esempi di proiettività fra piani. — Nei capitoli precedenti abbiamo considerato una sola forma di seconda specie. Vogliamo ora mettere in relazione due tali forme mediante certe corrispondenze, che hanno la massima analogia colle proiettività tra forme di prima specie. Siano ad es. ti, ti' due piani punteggiati. Possiamo in in- finiti modi stabilire una corrispondenza biunivoca fra i punti di yr e i punti di ti'. Ai punti situati sopra una retta generica di re corrisponderanno in ti' punti costituenti un qualche luogo (continuo o no). La ipotesi più semplice che si possa fare è che ai punti di ogni retta di ti corrispondano punti di una retta in ti'. Diremo allora proiettivi i due piani punteggiati; e per proiettività fra due piani punteggiati intenderemo una corrispondenza tale, che ad ogni punto di ciascun piano corri- sponda un punto dell' altro piano, ed a punti allineati corrispondano punti allineati. Esistono certo corrispondenze siffatte. Tale è ad es. la corrispondenza (prospettiva) che si stabilisce fra due piani distinti '
I — 277 — 7t^ n\ proiettando i punti dell'uno sull'altro da un centro arbi- trario, che non appartenga né a tt, ne a tc' (n°. 11). Tale è pure la corrispondenza di itguaglianza che passa fra due posizioni ti q n' di uno stesso piano mobile, quando si riguardino come corrispondenti due punti di n e tt', che siano posizioni assunte da uno stesso punto mobile, e si supponga inoltre che il movimento non deformi le figure. * Finalmente un esempio di proiettività fra piani punteggiati (esempio che conduce, come vedremo, alla più generale proiettività fra i due piani) si ottiene nel seguente modo. Si fissi su ciascuno dei piani tt, tt' un sistema di coordinate proiettive omogenee (o casi particolari), ed al punto generico (a-, y, z) di n si faccia corrispondere in ji' il punto {x', y', z') definito dalle relazioni x' = X, y' = y^ z' = z (o, trattandosi di coordinate omogenee, x : y : z =i x' : y' \ z'). E chiaro che la corrispondenza cosi stabilita è biunivoca, e muta i punti di una retta ax -^^ hy ^ cz = di ti nei punti della retta ax' + by' 4- cz' = di yr'; si tratta dunque di una proiettività. Si osserverà che i punti fondamentali e il punto unità di TT hanno per corrispondenti i punti fondamentali ed il punto unità in ?r'. 165. Definizione di proiettività fra due forme di seconda specie. — Considerazioni analoghe alle precedenti possono ap- plicarsi a due forme qualisivogliano di seconda specie, e con- ducono alla definizione seguente : Due forme di seconda specie ^, 2' diconsi riferite proiettiva- mente {o proiettive)^ quando ad ogni elemento {reale) di 2 o 2' corrisponde un unico elemento {reale) di 2' o 2, ed inoltre agli elementi di ogni forma di prima specie contenuta in 2 o 2', corrispondono in 2' 2 elementi di una forvia di prima specie due tali forme di prima specie, come pure i loro sostegni, diconsi corrispondenti nella proiettività fra 2 e 2'. Stacchiamo i vari casi a cui la definizione dà luogo: a) Se le forme di seconda specie sono due piani punteggiati 71, n', allora ad ogni punto A dì n corrisponde un punto A' di tt', ed ai punti di una retta b di tt, corrispondono i punti di una retta b' {corrispondente a b) in tu'. Se il punto ^ e la
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
Page 537 and 538:
— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
Page 541 and 542:
— 523 — Per calcolare il seno d
Page 543 and 544:
— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
Page 547 and 548:
— 629 — quarto vertice dalla fa
Page 549 and 550:
— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
Page 553 and 554:
— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
Page 557 and 558:
— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
Page 563 and 564:
— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
Page 567 and 568:
— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
Page 575 and 576:
— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
Page 645 and 646:
— 627 — zioni lineari fra i coe
Page 647 and 648:
— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
Page 729 and 730:
— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
Page 741:
— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
Page 755 and 756:
— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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