Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 80 — 50. Relazioni fra le mutue distanze di quattro punti armonici. — Siano A, B, C, D quattro elementi armonici di una forma di prima specie, i quali, riferiti ad un sistema di coordinate proiettive (o casi particolari), abbiano le coordinate a, ò, e, d. Sarà per definizione od anche a — e a — d IT—'c ' b~—~d ~ " ' a — e a — d b — e b — d dalla quale risulta subito che la coordinata di uno dei quattro elementi, ad es. d, si esprime razionalmente mediante le coordinate a, è, e dei rimanenti tre. Mediante facili trasformazioni la precedente relazione si traduce nell' altra più simmetrica (1) ab -^ ed — jy (a + b)(c + ^) = 0, la quale adunque può riguardarsi come la condizione affinchè i quattro elementi formino un gruppo armonico. Dalla (1) si traggono alcune utili proprietà nella ipotesi, in cui ora ci poniamo, che gli elementi in questione siano punti di una retta propria, dei quali a, b, e, d siano le ascisse rispetto ad una certa origine. I. Si supponga in primo luogo che la origine si trovi nel punto A. Allora a = 0, e la (1) diventa ed = - b(c -|- d), donde si trae 2 1,1 ~r = " + :j .2 1,1 ' ossia b ed AB^ = • -^ . -f- AC AD^ In un gruppo armonico di punti la distanza di un punto dal suo coniugato è media armonica tra le distanze del punto stesso dagli altri due punti del gruppo ; e viceversa (^). II. In secondo luogo si ponga la origine nel punto medio tra. A e B allora è ; b =^ — a^ e la ( 1 ) diviene a'^ = ed, ossia OA'' = OB'' = OC OD. (') Si dice che tre numeri sono in progressione armonica (ed il secondo è medio armonico fra gli altri due), quando i loro inversi sono in progressione aritmetica.
— 81 — In un gruppo armonico di punti, la distanza del punto medio fra due coniugati da uno di questi è media geometrica tra le distanze del punto medio stesso dagli altri due punti coniugati del gruppo; e viceversa. Poiché OJ.^ è positivo, OC ed OD devono aver lo stesso segno ; dunque in un gruppo armonico di punti, due punti coniugati stanno dalla stessa banda del punto medio fra gli altri due. A e B u Se, A e B rimanendo fissi, il punto G si muove ad es. da verso B descrivendo il segmento finito OB, il coniugato armonico D descriverà il prolungamento di 5 dalla parte di B, venendo dall' infinito verso B. Se C finisce per coincidere con 5, dovrà pure D cadere in jB ; si suol dire perciò che se in un gruppo armonico di punti (o di elementi di una qualsiasi forma di prima specie) due punti (o elementi) coincidono, un terzo punto (od elemento) coincide con quelli, ed il quarto può cadere dovunque sulla forma. Un siffatto gruppo armonico si suol chiamare degenere. Se invece il punto C cade in 0, il coniugato D andrà air infinito, come risulta pure dal fatto che dunque : ^^^^^-^ - JABD^) - 1 = - ^' III. Il coniugato armonico del punto medio di un segmento.^ rispetto agli estremi di questo, è il punto alV infinito della retta ; e viceversa, il coniugato armonico del punto all' infinito di una retta, rispetto a due punti di essa, è il punto medio tra quelli. IV. Dati sopra una punteggiata propria quattro punti armonici A, B, C, D (tra cui A e B almeno siano propri), giova esprimere le ascisse c^ d dei due ultimi in funzione delle ascisse a, b dei due primi e del rapporto semplice Si ha subito, (n.° 32), r = (ABC) = — (ABB). a — rh -, a d = -\- rb 1 — r ' 1 + r _
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 167 — e la medesima relazione
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 183 — ed il termine noto, i r
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— 185 — questa convenzione cost
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— 187 — è espressa dall' annul
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 415 — dove p è una costante
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— 421 — Un terzo invariante si
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 453 — 38) Da questo teorema e
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 463 — 12) n prodotto di due a
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- 470 — dove si suppone precisame
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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