Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 424 — Paragonandoli cogli invarianti della (1), abbiamo (n." 249) le relazioni (3) a\, + ft'22 =: /, a\,a\^, = A,,, a\,a\^.^a'.^ — A, le quali ci dicono che C-^) «'33 = -j-1 e che a '11, a '30 sono le radici dell'equazione quadratica (5) r^ — it -\- ^33 = 0. E indifferente assumere per coefficiente di X^(o di Y'^) nella (2) r una o V altra delle due radici, essendo in arbitrio la scelta dell'uno dell'altro asse della conica, come asse delle X (o delle y). /?) Riduzione dell' equazione di una conica a centro a due diametri coniugati. — Se come nuovi assi coordinati X, Y si assumono due diametri coniugati, si dovrà dare 1' angolo XY che essi formano, per distinguere la coppia di diametri X, Y dalle infinite altre coppie di diametri coniugati. L'equazione ridotta ha ancora il tipo (2); ma per calcolarne i coefficienti, qui bisogna adoperare, in luogo delle (3), le equazioni (n.° 249) /Q/\ ^ 11 ~T~ ^ 2'-' T a iitt 22 i a iitt 2^0' 33 i '^ ^ sen^^Xr — ^' sen'^Xr "~" ^''' sen-^XF ~ ' a cui si perviene tenendo conto della obliquità dei nuovi assi. Queste ci danno ancora (4') a'33==-f-; ma ora «'„, a'^a sono radici della equazione (5') r2 _ Jsen^Xr • t + ^33sen2Xr= 0. y) Riduzione dell'equazione di una iperbole agli asintoti. — La nostra conica (1), supposta iperbole, quando venga riferita agli asintoti, assume una equazione del tipo (n.^ 239, e)) (2") 2a\,XY + a\, = 0. Formiamo gli invarianti di questa (tenendo conto che gli asintoti in generale sono obliqui), ed uguagliamoli agli invarianti noti della (1); troveremo le equazioni 2a\2CosXY _ — aV _ . sen^XF ~ ' sen^XZ ~ ''' — a'.J'a', sen^XF
— 425 — nelle quali le incognite sono i coefficienti a'i,, o,'zz della (2") e r angolo X Y degli asintoti. Dalle ultime due equazioni, mediante divisione, si ottiene intanto il solito valore del termine noto (come era previdibile, n.*' 248, II) (4") a'33 = j^ ' Dividendo poi membro a membro la seconda delle (3") per la prima innalzata a quadrato, si trova donde (5 ") ' tg z r = -— "^^- lA^ , che ci dà l'angolo degli asintoti. Ricavando di qua I + tg^xy - 7=^-4.1,, ' e sostituendo nella seconda delle (3"), si ha in fine dove il doppio segno dipende dal verso che si assume come positivo sugli asintoti. ó) Riduzione dell'equazione di una jtarabola all'asse e alla tangente nel vertice. — Se come assi coordinati X, Y si assumono l'asse della curva e la tangente nel vertice (XF = -^1, l'e- quazione della parabola assume la forma (n.° 239, (e)) (2'")
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 125 — Se nella proiettività
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— 133 — cìenti delle (4). Con
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 145 — opposti del triangolo,
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 149 — dalla determinazione do
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 157 — Parte Seconda. Geometri
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— 159 — vertice, saranno negati
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 165 — ad es. sotto la forma (
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— 167 — e la medesima relazione
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— 169 — Di qua si deduce subito
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 173 — 5) Risolvere i problemi
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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— 179 — ' sulle relazioni (a),
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 187 — è espressa dall' annul
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 229 — I.'' Definire e studiar
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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— 267 — retta x sopra cui quest
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— 269 — \si OA perpendicolare a
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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I — 277 — 7t^ n\ proiettando i
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— 279 — proiettino da S, S' uno
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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l — 305 — trova che le coordina
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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