Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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riesce tangente alla quadrica in P, quando risulti anche k^, z=z 0,
quando dunque, nella (2), si annulli inoltre il coefficiente di 2 A;:
ossia
(4') {a,,x' -f- . . .)x + {a^,x' + .
+ {a^x' -^ ...)t = 0.
. .)z
La (4), o (4'), è dunque la condizione, cui devono soddi-
. .)y -f {a,,x' + .
sfare le coordinate (x, y, z, t) del punto F, affinchè esso stia
sopra una tangente alla quadrica nel punto assegnato P'
(x/, y\ z', V). Poiché l'equazione (4') contiene linearmente
quelle coordinate, essa rappresenta un piano. E cosi rimane
confermato che le munite rette tangenti ad una quadrica in un
punto stanno in un piano (piano tangente), la cui equazione si
forma, attribuendo, come coefficienti, alle variabili (x,y,z,t) i valori
assunti dalle semiderivate del polinomio f (x, y, z, t), quando in
esse si sostituiscano le coordinate del punto di contatto.
Il piano tangente in P' è indeterminato, soltanto quando
quelle semiderivate si annullino insieme per le coordinate di
P', e ciò, come vedremo, accade nel solo caso che la quadrica
sia un cono col vertice P' (d' accordo col teorema del n." 345).
Osservazione. — In coordinate cartesiane ordinarie x, y, z,
conviene talvolta scrivere la equazione del piano tangente ad
una quadrica, nel punto P'{x', y' , z'), sotto una delle due
forme seguenti :
(a) {a^^x' + a,^y' -f a,^z' -j- a,^){x — x')
+ (a^x' -f a^^y' -\- a,^z' -f a.^)(y — y')
-h {a^,x' + a^^y' -f a^^z' -j- aj){z — z') = 0,
che si dimostra equivalente alla (4'), ridotta in coordinate non
omogenee, quando si tenga conto che la equazione della su-
perfìcie è soddisfatta dalle coordinate di P' ;
a^s{yz'^y'z)
(/?) a,,xx'-^. .
.-f- a,^zz'-{- a,^{xy'^ x' y) -f. . .+
+ a,,{x -|- a;') 4- . . . -f- a,,{z -f z') -\- a^ = 0,
la quale si forma tenendo presente la regola esposta per le
coniche nella Oss. seguente il n." 198.
Valendosi dell' una o dell' altra formula, il lettore vedrà che,
se la quadrica passa per l'origine (se dunque «44 = 0), l'è-