Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 478 — punti dati, si possa costruire un nuovo punto mediante riga e compasso, è che le coordinate ortogonali di questo punto appartengano al campo euclideo determinato dalle coordinate dei punti dati. Siccome poi la estrazione di radice quadrata è equivalente alla risoluzione di una equazione di secondo grado, un numero generico del campo euclideo sopra nominato può anche defi- nirsi nel modo seguente. Si formi una prima equazione quadratica, i cui coefficienti appartengano al campo di razionalità K = [1, a, b, e . . .] definito dai numeri dati, e si aggiungano le radici di questa al campo K, ottenendo un campo (generalmente) più ampio Ki ; si costruisca poi una seconda equazione quadratica, i cui coefficienti appartengano al campo A'i, e si aggiungano a Ki le radici di questa equazione, ottenendo un nuovo campo K^', e cosi si continui. Tutte le equazioni quadratiche che in tal guisa si possono formare hanno per radici reali numeri del campo euclideo; e viceversa, ogni numero di questo campo è radice di una equazione costruibile nel modo detto. 272. Sui problemi risolubili mediante la riga e il compasso. — Le considerazioni precedenti, quando si ricordino le convenzioni fatte per classificare i problemi geometrici, ci conducono al risultato fondamentale che segue: Condizione necessaria e sufficiente perchè un problema geo- metrico possa risolversi colla riga e col compasso, è che la equazione da cui il problema dipende abbia le radici appartenenti al campo euclideo determinato dai dati; od, in altre parole, che quella equazione possa risolversi mediante un numero finito di operazioni razionali e di estrazioni di radici quadrate eseguite partendo dai numeri dati. Potremo dire ancora: Sono risolubili colla riga e col compasso tutti i problemi di primo e di secondo grado; e, fra i problemi (algebrici) digrado superiore, quelli soltanto che conducono ad equazioni, la cui risoluzione può farsi dipendere dalla risoluzione di un numero finito di equazioni quadratiche, formate nel modo sopra indicato. Que- sti ultimi problemi si risolvono mediante la successiva risoluzione di più problemi di secondo grado.
— 479 — In base a questo teorema, la questione geometrica di decidere se un determinato problema possa risolversi colla riga e col compasso, si riduce (quando si riesca a scrivere la equazione del problema) alla questione algebrica di decidere se una data equazione possa risolversi mediante operazioni razionali ed estrazioni di radici quadrate. Ora V algebra possiede oggi metodi generali per affrontare questioni siffatte. Essa quindi ha potuto, nel secolo XIX, portare una risposta definitiva a domande che i geometri greci avevano posto, e che per oltre venti secoli erano rimaste insolute. Non possiamo qui trattenerci sulla teoria algebrica delle equazioni risolubili mediante radicali quadratici. Ci limitiamo ad enunciare un teorema fondamentale in quella teoria, riman- dando, per la dimostrazione e per altre nozioni, agli autori che si occuparono in particolare di questo argomento (^): Condizione necessaria^ non sufficiente, affinchè una equazione algebrica irriducibile (in un campo di razionalità cui appartengono i suoi coefficienti) possa risolversi mediante u?i numero finito di operazioni razionali ed estrazioni di radici quadrate, è che il grado della equazione sia una potenza di 2. 273. Esempi di problemi di secondo grado, o di grado superiore, risolubili con mezzi elementari. — Euclide ha inse- gnato a risolvere colla riga e col compasso i problemi di secondo grado (^); tali sono, ad es., la costruzione di un segmento medio proporzionale fra due segmenti dati, la bisezione di un dato angolo, la divisione di un segmento in media ed estrema ra- gione, ecc. Molti problemi grafici di secondo grado si incontrano, come vedemmo, nella Geometria proiettiva (n.° 90 e seg.); fondamentale, tra questi, la determinazione dei punti uniti in una proiettivita od involuzione tra punteggiate sovrapposte, al quale pro- {^) Petersen, Teoria delle equazioni (trad. Rozzolino e Sforza); Klein, Conferenze sopra alcune questioni di Geometria elementare (trad. Giudice) pp. 5-11 (Torino, 1896); Enriques, Sulle equazioni algebriche risolubili per radicali quadratici . . . nel volume citato « Questioni riguardanti la Geome- tria elementare » pp. 357-368. av. Cr. (-) Tale risoluzione era già nota alla Scuola Pitagorica del V° secolo
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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— 5 — fascio, chiamando proprio
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— 7 — Segue che i punti impropr
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 61 — Il procedimento si esten
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— 65 — (cc^y) senay senaó nel
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dove si è posto per brevità — 7
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 117 — 71. Elementi uniti di u
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— 125 — Se nella proiettività
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 139 — Se Z7 è punto doppio d
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— 147 — menti (n.** 68), od in
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— 153 — ed è iperbolica, parab
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 261 - punti B, B' di ordinate y
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e fatto z - 263 —
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— 265 — delle note disuguaglian
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— 269 — \si OA perpendicolare a
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 341 — l'equazione della tange
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 355 — e si noti che, quando M
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 527 — Similmente si vede che
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 531 — ordine uguagliato a zer
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— 533 — perpendicolare. (Es. nu
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— 535 — di geometria elementare
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— 537 — menti dei vettori dati,
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
Page 761 and 762:
— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
Page 765 and 766:
— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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