Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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Capitolo IV.
Rappresentazione analitica delle superficie
e delle linee nello spazio.
316. Equazioni dì un luogo dì punti. — Un punto, che si
muova nello spazio con data legge, può descrivere una linea o
una superficie. Noi vedremo ora che le linee e le superfìcie pos-
sono rappresentarsi mediante equazioni, contenenti, come varia-
bili, le coordinate del punto mobile.
In linea generale, data una o più equazioni a tre varia-
bili X, y, z (delle quali una o due potrebbero eventualmente
mancare), si considerino tutte le terne di valori (x, y, z) soddi-
sfacenti insieme le equazioni proposte. Quando sia fissato nello
spazio un sistema qualsiasi di coordinate non omogenee, o car-
tesiane, o polari, .... ad ognuna di quelle terne corrisponde
un punto avente le coordinate (x, ?/, z). Il luogo di questi punti
si dirà rappresentato analiticamente dalle equazioni date. Il luogo
avrà due dimensioni.! e sarà, nei casi ordinari, una superficie,
quando di tre valori x, y, z, soddisfacenti alle equazioni date,
si possano assegnare ad arbitrio due, entro limiti convenienti,
rimanendo in conseguenza determinato il terzo, in uno o più
modi ; il luogo avrà una dimensione, e sarà, nei casi ordinari,
una linea, quando si possa assegnare ad arbitrio il valore di
una sola coordinata, rimanendo determinate, in uno o più modi,
le altre due.
Viceversa, se un punto si muove nello spazio con data
legge, le coordinate del punto varieranno, soddisfacendo a certe
relazioni traducenti la legge, che regola il movimento ; queste
relazioni saranno le equazioni del luogo.
317. liquazione di una superficie. — Per precisare i con-
cetti che precedono, partiamo da una sola equazione a tre
variabili x, y, z, che possiamo interpretare come coordinate
cartesiane ordinarie di un punto nello spazio ; sia
(1) f{x, y, z) = 0.