Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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3) Il luogo dei punti, le cui distanze da un piano e da una retta fissa
sono in rapporto costante, è un cono col vertice nel punto d' incontro della
retta e del piano, ovvero un cilindro se la retta è parallela al piano ; il
cono risulta di rotazione, se la retta è perpendicolare al piano. (Per sem-
plificare la ricerca, in questo e negli es. seguenti, converrà scegliere con-
venientemente gli assi ; si potrà, ad es., nel primo caso scegliere la retta
come asse coordinato, e il piano passante per l'origine).
4) Il luogo dei punti tali, che la somma (o la differenza) delle distanze
da due punti fissi sia costante, è un ellissiode (o iperboloide a due falde)
rotondo, avente come asse la retta congiungente i due punti.
5) Il luogo dei punti, le cui distanze da un punto e da un piano fissi
sono in rapporto costante, è una quadrica rotonda intorno alla perpendico-
lare calata dal punto sul piano, e precisamente un ellissoide, un parabo-
loide, o un iperboloide a due falde, secondo che il valore del rapporto è
minore, uguale o maggiore dell' unità.
6) Il luogo dei punti, le cui distanze da un punto e da una retta
hanno un rapporto costante A-, è un ellissoide rotondo, o un iperboloide ro-
tondo ad una falda, secondo che A" è minore o maggiore dell' unità. Qual'è
l'asse di rotazione ? Se k = 1, si ottiene un cilindro parabolico, normale al
piano individuato dal punto e dalla retta.
7) Il luogo dei punti, le cui distanze da due rette (in generale sghembe)
sono in rapporto costante, è una superficie del secondo ordine, che diventa
un cono se le due rette s'incontrano, e un cilindro se sono parallele.
8) Un cerchio di raggio r, il quale ruoti intorno ad una retta del suo
piano, genera una superficie rotonda del quarto ordine, detta toro (o super-
ficie anulare). Si scriva l'equazione della superficie, assumendo l'asse di
rotazione come asse z, ed il piano contenente i centi'i dei cerchi meridiani
come piano xy. Si determinino le intersezioni del toro coi piani coordinati,
con piani paralleli a questi e col piano all'infinito. Si osservi, in partico-
lare, che il piano y ^= r sega il toro lungo una curva di Cassini (n.° 163),
e precisamente lungo una lemniscata, se la distanza del centro del cerchio
meridiano dall'asse z e 2r.
9) Luogo dei punti tali, che il prodotto delle distanze da due punti
fissi sia costante (cfr. n.° 163, 3) ).
10) Luogo di un punto tale, che il triangolo avente per vertici i piedi
delle perpendicolari calate dal punto sulle faccie di un triedro trirettan-
golo, abbia data area.
11) Un piano varia in guisa, che il volume formato da esso coi tre
piani coordinati si mantiene costante ; si trovi il luogo descritto dal piede
della perpendicolare calata dall'origine sul piano.
IL - 12) Si sa (n.° 309, es. 6) ) che le formule
X = X -{- a, y = Y -{- b, z = Z -}- e
determinano la posizione {x, y, z) assunta da un punto generico (X, 1', Z)