Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 318 — l' altro piano la equazione dell' inviluppo formato dalle rette corrispondenti ai punti della curva; o viceversa. E dall'essere lineari quelle formole risulta che una curva algebrica d'' ordine n viene trasformata da una correlazione in un inviluppo algebrico di classe n, e viceversa. 187. Correlazione fra piani sovrapposti. — Supponiamo ora che i due piani correlativi ti, u' siano sovrapposti, e vengano riferiti ad uno stesso sistema di coordinate omogenee, sia di punti, sia di rette. Un punto P{x, y, z) del sostegno sarà considerato una prima volta come punto di tt ; ad esso, in virtù della correlazione K, con cui si passa da ?r a tt', corrisponderà in ti' una certa retta p'{u\ v\ w'), le cui coordinate saranno espresse dalle (1). Ma se consideriamo P una seconda volta come punto di tt', nel qual caso potremo indicare il punto stesso con Q' e le sue coordinate con x' = x^ y' = y-, z' = 2^, dovremo cercare quella retta g'(w, v, w) ài ji che corrisponde a Q ' mediante la correlazione inversa K ; le coordinate di q saranno date allora dalle (4). Il confronto fra le (1) e le (4) fa vedere che, generalmente, le due rette p' e q corrispondenti allo stesso punto P ^l Q' nelle correlazioni K e K~ sono di- stinte fra loro. Si presentano allora i due problemi seguenti: 1) esaminare se esistano punti particolari P =: Q', ai quali corrisponda (doppiamente) un'unica retta p' ^= q, nelle correlazioni K e K ; 2) esaminare se esistano correlazioni K cosi particolari, che, comunque sia scelto il punto P =: Q', sempre le due rette corrispondenti p' e q in K e K vengano a coincidere; vale a dire, esaminare se una correlazione K fra piani sovrapposti, possa coincidere colla correlazione inversa, K = K Qui si osservi, sotto l' aspetto sintetico, che la retta q, trasformata mediante K, dà il punto Q' ^: P, il quale, trasformato ancora mediante K, dà la retta ^'; sicché la retta q si muta nella p ' mediante la collineazione K ^. Quindi il primo problema si riduce in sostanza a determinare gli elementi uniti della detta collineazione ; ed il secondo problema ad esaminare quando essa sia una identità. Sotto r aspetto analitico, il problema 1) porta ad esaminare per quali valori di x, y, z (coordinate di P ^ Q') le coordi-
— 319 — nate della retta p', che sono espresse (in forza delle (1)) da risultino proporzionali alle coordinate della retta g, che sono espresse (in forza delle (4) ) da «naC -}- «21?/ + «^31^, «122; -j- «22^ -p «32^;, tt^X -^ tt^^ìj '\- u^^z. Detto k il fattore incognito di proporzionalità, sottraendo dalle coordinate di p' le corrispondenti coordinate di q moltiplicate per A;, si giunge al sistema di equazioni i (ttn — kan)x -\r («12 — ^«21)^ + («13 — ka^,)z = 0, (5) < («21 — kai^)x -\- («22 — ka^o)y -j- («,3 — ka3^)z =: 0, ( («31 — ka,3)X -f- («32 — ^«23)2/ + (
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— espili ampia che chiameremo A^]
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S'. Servendoci di questo, noi possi
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— 115 — u'. 1 punti M, 0, N si
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— 125 — Se nella proiettività
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— 135 — il teorema duale) la in
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— 137 — la involuzione appartie
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— 151 — distanza. Qua!' è il m
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ossia — ^ — 155 = i + i_ y —
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— 157 — Parte Seconda. Geometri
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— 161 — Proiettiamo i punti Pi,
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— 171 - gnano polinomi contenenti
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— 175 — si può costruire una s
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— 177 — sce un vettore A B ugua
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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e fatto z - 263 —
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— 376 — gente ad una iperbole c
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— 415 — dove p è una costante
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 457 — il piano di K' intorno
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 490 — 278. Il problema della
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— 492 — 6) Retta generica del f
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 509 — se invece sta sopra xy^
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 545 — togliere, introducendo
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
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— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
Page 763 and 764:
— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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