Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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— 130 — nello stesso modo l'uno rispetto all'altro. Queste coppie si sogliono dire brevemente coppie della involuzione, mentre sarebbe preferibile chiamarle coppie di elementi coniugati in una proiettività involutoria. Se AA', BB', ce, . . . sono più coppie di una involuzione, si ha per definizione AA'BB'CC ... A A'AB'BC'C..., e viceversa. Posto ora che da questi elementi, situati in una forma di prima specie, si ottengano mediante operazioni di proiezione e sezione nuovi elementi a, a', b, b', e, e' . . . di una nuova forma di prima specie^, si avrà ancora (n.° 61) aa'bb'cc' . . . a a'ab'bc'c . . . Segue di qua : se ad una involuzione si applicano operazioni di proiezione o sezione, si ottiene una nuova involuzione. Il concetto di involuzione risale a Desargues (1639), il quale stabilì le relazioni fra tre coppie di una involuzione. La trattazione moderna qui adottata, risulta dalle ricerche di Chasles (1837), Seydewitz ((1844) e Staudt (1847). 80. Proprietà fondamentale della involuzione. — Per ri- conoscere se una proiettività sia involutoria occorre, secondo la definizione, verificare se ogni coppia di elementi corrispondenti si componga di elementi corrispondentisi in doppio modo. In realtà, si può limitare la verifica ad una sola coppia, in virtù del teorema seguente : Se in una proiettività fra due forme di prima specie sovrapposte esiste una coppia di elementi distinti che si corrispondano in doppio modo, allora due elementi corrispondenti qualisivogliano si corrispondono in doppio modo, e la proiettività è involutoria. Siano A, A' due elementi distinti che si corrispondano in doppio modo nella proiettività JP, di guisa che la I* muti A ed A' in A' ed A, rispettivamente. Sia B un altro elemento arbitrario che la proiettività _P muti in B', e sia X l'elemento che la J* fa corrispondere a B' ; tutto si riduce a dimostrare che X coincide con B. Infatti si ha, in causa della proiettività JP, ossia (n.° 46, I) (AA'BB') = (A'AB'X), (AA'BB') = (AA'XB'), la (juale fa vedere (n.° 41) che B coincide con X, e. d. d. .
— 131 — 81. Equazione deiriiivoluzioiie. — Allo stesso risultato si può giungere per via analitica; si ha così il vantaggio di vedere quale particolarità presenti l'equazione bilineare diuna proiet- tività, quando questa è involutoria. Siano date due forme proiettive e sovrapposte riferite ad uno stesso sistema di coordinate proiettive (o casi particolari), e sia axx' -f- ^x -[- yx' -}- ó =: la equazione della proiettività che le collega. Se nella nominata proiettività due elementi distinti, di coordinate y e y\ spondono in doppio modo, sussisteranno le relazioni f^yy' 4- ^y + 72/' + ^ = 0,
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w-\>\V
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Proprietà letteraria DELLA Societ
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IV non troverà nemmeno traccia del
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INTRODUZIONE vJli studi geometrici,
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— 3 — IIF. Lo spazio di piani,
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(segue da b) e d) purché sulle due
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stesso piano n. Fra le altre rette
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— 25 — nel piano PSA, devono se
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— 27 — due trilateri omologici
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— 29 — problema generalmente no
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— 35 — Noi possiamo far ciò se
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— 41 — '23, 34 . . . tutti ugua
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— espili ampia che chiameremo A^]
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— 45 — furono dette di prima sp
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— 47 — Col metodo da n ad n -]-
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— 49 — 11) Attribuendo ai punti
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— 55 — ÌA1A2M) := -; si ha di
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— 65 — (cc^y) senay senaó nel
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dove si è posto per brevità — 7
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— 181 — determinare. Ricordiamo
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— 183 — ed il termine noto, i r
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— 185 — questa convenzione cost
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— 187 — è espressa dall' annul
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— 189 — Pi Q, si inverta il ver
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— 191 — Osseryazìone. — La c
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— 193 — un punto (n.° 89), rif
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— 195 — torno chiuso curvilineo
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ossia (1) — 197 — y = h -^ Y, l
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— 199 — Ma per le (1) X = x' -^
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— 201 — Esercìzi. — 1) Come
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o meglio — 203 — (2') Xy — Yx
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— 207 — Come le coordinate omog
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Dunque : V equazione ( in coordinat
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— 213 — di numeri, e le ^ rette
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— 215 — UN. La ipotesi è dunqu
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— 217 — H punto Z ha le coordin
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— 219 — Riunendo questa alle (1
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— 223 — cati per convenienti fa
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— 233 — curva, e si riguarderan
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e fatto z - 263 —
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i ossia se — 271 — a'^ ^ \ x'^
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i — 275 — 6) Un' altra generazi
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— 285 — e viceversa^ ed ogni re
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I — 287 — (dove Aik ^ il comple
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— 289 — * Osservazione II. —
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l — 299 — Se poi di una retta a
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i — 301 — *' ed j, generalmente
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i — 303 — e) Se finalmente il c
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l — 305 — trova che le coordina
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i — 307 — reale), q^ = q^, giac
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i — 309 — * 185. Uguaglianza fr
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i — 311 — come uniti tutti i pu
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l — 313 — 17) Due piani simili
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— 315 — tutti per uno stesso pu
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\ — 317 — Per rappresentare ana
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— 319 — nate della retta p', ch
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— 321 — e perchè noi supponiam
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— 323 — dremo nella teoria dell
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— 325 — tuirà V inviluppo coni
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— 327 — 7) Sopra ogni retta di
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— 329 — 3) Introdotta sul princ
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— 331 — curva x^ -\- y'^ = 0; c
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— 333 — La prima definisce il p
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— 335 — nel campo proiettivo ;
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dove f{x, y, 0), f{x', — 337 —
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— 339 — 1) Si formino le deriva
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— 341 — l'equazione della tange
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(7) A = — 343 — l'altro dalla r
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— 345 — 304. Metodo delle polar
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— 347 — F (u^ V, w), come la co
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— 349 b) Le intersezioni di una c
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— 351 — e sega pure il secondo
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— 353 — dai quali si conducano
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— 355 — e si noti che, quando M
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I — 357 — zioni della retta VP
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— 359 — a primo grado, si ricon
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— 361 — in punti coincidenti da
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— 363 — gli ortocentri dei quat
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i — 367 — a, 6' le tangenti in
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— 369 — Queste proposizioni, di
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— 371 — Segando il primo fascio
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— 373 — done noti due punti: M
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— 376 — gente ad una iperbole c
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Le infinite coniche circo- scritte
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— 379 — una conica è iscritta
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— 381 — reale e distinta da que
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— 383 — tre coniche degenen (a
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— 385 — Se ora si suppone che d
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— 393 — è tangente a K) i}). (
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— 395 — dove À, fi. V sono par
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— 397 — Partendo dall' equazion
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— 399 — La costruzione degli as
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— 401 — La prima proposizione s
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— 403 — gonali^ proponiamoci di
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— 405 — 7) Dati in grandezza e
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— 407 — 25) Ad una schiera di c
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— 409 — dovrà la (d) mancare d
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— 411 — II) Se nella (2) faccia
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— 413 — 244. Alcune formole rel
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— 415 — dove p è una costante
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— 417 — nelle (a), basterà far
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— 419 — caso. Ma si può chiede
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— 421 — Un terzo invariante si
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— 423 — dunque: nel passaggio d
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— 427 — 252. Teoremi di Apollon
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— 429 — 3) Scrivere l' equazion
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— 431 — 17) Dati sulla conica A
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— 433 — diagonale PQ; queste pe
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— 435 — Capitolo V. Proprietà
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— 437 — la involuzione dunque
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— 439 — Ciò premesso, assumiam
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— 441 — Per enunciare il risult
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— 443 — è indipendente dalla c
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- e\c -j- Q cos f) = —
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— 447 — lori costanti, coordina
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— 449 — rette formanti fascio c
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I — 451 — dei segmenti cosi ott
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— 457 — il piano di K' intorno
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— 459 — quella affinità che tr
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— 461 — sono paralleli agli asi
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— 463 — 12) n prodotto di due a
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— 465 — parallela alla retta P,
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— 468 — rebbe quando fosse rich
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- 470 — dove si suppone precisame
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— 472 — sistema di coordinate p
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— 474 — In modo perfettamente a
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— 476 — comprenderà ora a prio
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— 478 — punti dati, si possa co
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— 482 — II. Sia data una riga a
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^ 484 — dove p, q possono riguard
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— 486 — sarà noto a priori (ca
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— 494 — 21) Condizioni perchè
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G. CASTELNUOVO Professore all' Univ
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— 499 — e la terza coordinata {
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(!') — 507 — 289. Equazioni di
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— 511 — Questa rappresenta un p
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— 513 — allora, od esiste un si
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— 515 — punto (2, — 1, 1) e p
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— 517 — spezzate aventi gli ste
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— 519 — 297. Distanza dì due p
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e quindi , 'cosxr = — , — 521
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— 523 — Per calcolare il seno d
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— 525 — Ora questi risultati, e
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— 629 — quarto vertice dalla fa
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— 539 — Si osserverà che i nov
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— 541 — cartesiano^ le coordina
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^ — 543 — d' = zZ, mediante la
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— 547 — genee, giova tuttavia t
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— 549 — piani P; riguardata sot
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— 551 — Si ha qui una giustific
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— 553 — dinate (1, 1, 1, 1). Be
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— 555 — dove i k l m B una qual
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— 557 — Per costruire un punto
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— 559 — che si possa dedurre co
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— 561 — Il teorema si dimostra
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— 563 — come piano XY di un nuo
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— 565 — II. — 10) Trovare 1'
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— 667 — essere tutte nulle). Al
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— 569 — D' altra parte è spess
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X — a
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— 573 — Se il vertice coincide
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— ; 576 — equidistanti dal punt
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— 577 — essi (n.° 312). Tra gl
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— 579 — dello spazio mediante u
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— 581 — quel modo, pur di scegl
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-^ 583 — glianze (1). Si conclude
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— 585 — una posizione assunta d
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— 587 — uniti, ed i cui spigoli
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— 589 — piani corrispondenti, s
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— 591 — Finalmente se, dato un
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ci fornisce A: = zioni (7), ci dà
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— 595 — 839. Polarità nello sp
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— 597 — Esercizi. I. — 1) Una
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— 599 — si osservi che le condi
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— 601 — 18) Assunto r asse di u
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— 603 — (n.*' 323), r ellissoid
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— 605 — La curva intersezione d
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— 607 — punto comune alle due r
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— 609 — 345. Per costruire il p
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— 611 — P', mentre il coefficie
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— 613 — quazione del piano tang
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— 615 — questa ipotesi sarà so
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— 617 — Due rette siffatte, in
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— 619 — quadrica in un punto R
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— 621 — una quadrica : due pian
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— 623 — esso pure alla quadrica
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— 625 — p' ed ì piani n' della
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— 627 — zioni lineari fra i coe
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— 629 — goli collo stesso verti
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— 631 — cano in P la quadrica,
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— 633 — Cosi continuando, vedia
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— 635 — Segue inoltre che il pr
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— 637 — Dualmente, se i sostegn
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— 639 — Esse passano tutte per
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— 641 — g) / vertici dei quattr
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— 643 — autoconiugato rispetto
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— 645 — lungo coniche, che hann
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— 647 — (Cfr. n." 231, es. 9),
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— 649 — %• 1 (^))> o può non
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— 651 — che si riconosce essere
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— 653 — di centro, i paraboloid
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— 655 — 2^0 ) della quadrica (n
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— 657 — triangolo, insieme al c
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— 659 — Concludiamo che una qua
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— 661 — del n.° 378^ la quale
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k — 663 — Ritornando al problem
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— 665 — drangolo ; ed è autopo
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— 667 — 4) Date le equazioni di
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— 669 - a) Supposto anzitutto che
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— 671 — rappresentante un cono
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— 673 — mentre k cresce in valo
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— 675 — Il piano y =: iavece se
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— 677 — 387. Iperboloide a due
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— 679 — il piano polare di ques
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— 681 — mente che la quarta coo
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questa, colla traslazione di assi a
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— 685 — Per procurarci le equaz
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— 687 — (2) a'nX^ H h 2«^',,XF
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— 689 — Se invece avessimo adop
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— 691 — Osservazione. — Abbia
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Le ultime due ci danno — 693 —
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— 695 — sicché il paraboloide
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— 697 — Ora questo teorema può
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— 699 — 2) Ogni iperboloide rif
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— 701 — dri siffatti» (cfr. n.
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— 703 — perfide. Ora, se -ST è
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— 705 — quattro fasci impropri
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— 707 — centro dell'ellissoide.
Page 727 and 728:
— 709 — come risulta dall' Oss.
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— 711 — sopra una stessa retta,
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— 713 — cono dette direzioni as
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— 715 — Ora sappiamo che un con
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— 717 — una quadrica inviluppo
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— 719 — si trovano distribuiti
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— 721 — per la direttrice /'. l
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— 723 — due punti fissi della i
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— 726 — 6) Condizione, perchè
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(22) A (23) — 728 — 22) Area de
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— 730 — 35) Condizioni, perchè
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INDICE Prefazione pag. INTRODUZIONE
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— 735 — 41. Sistema delle coord
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— 737 — 91. Coppia comune a due
Page 757 and 758:
— 739 — 145. Concetto generale
Page 759 and 760:
— 741 — 197. Intersezioni di un
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— 743 — Cap. V. Proprietà foca
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— 745 — 300. Angolo di due rett
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— 747 — 362. Quadriche a punti
Page 772 and 773:
Kt 1 UKIN Astronomy/Mathematics/Sta
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Lezioni di geometria analitica e proiettiva - Autistici

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